雷达信号检测问题与奈曼-皮尔逊准则

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#信号处理 #目标检测

雷达信号检测问题与奈曼-皮尔逊准则

雷达信号检测问题属于一个二元检测问题，即或者为目标加噪声情况，或者为仅含有噪声情况。对观察信号空间 $D$ 的划分问题，即将 $D$ 空间划分为 $D_1$ (有信号）和 $D_0$ (无信号）两个子空间，并满足 $D=D0∪D1D=D_0\cup D_1$ ， $D0∩D1=∅D_0\cap D_1=\emptyset$ 。子空间 $D_0$ 和 $D_1$ 称为判决域。若某个观测量 $x|{{H}_{i}})(i=0,1)$ 落入 $D_1$ 域，就判决假设 $H_1$ 成立，否则就判决假设 $H_0$ 成立。

在不考虑杂波与干扰的问题下，认为接收回波中仅可能存在信号加噪声或纯噪声这两种情况。将仅含有噪声的情况设为 $H_0$ 假设，含有信号加噪声的情况为 $H_1$ 假设，有
$\left\{ \begin{aligned} & {{H}_{0}}:x(t)=n(t) \\ & {{H}_{1}}:x(t)=s(t)+n(t) \\ \end{aligned} \right.$
其中 $n (t)$ 为均值为0，方差为 $σn2\sigma_n^2$ 的高斯白噪声， $s (t)$ 为确知信号。对二元检测问题，存在两种正确判决和两种错误判决：
$\begin{aligned} & {{P}_{d}}=P({{H}_{1}}|{{H}_{1}}) \\ & {{P}_{n}}=P({{H}_{0}}|{{H}_{0}}) \\ & {{P}_{m}}=P({{H}_{0}}|{{H}_{1}}) \\ & {{P}_{fa}}=P({{H}_{0}}|{{H}_{0}}) \\ \end{aligned}$
其中， ${{P}_{d}}$ 为检测概率， ${{P}_{n}}$ 为正确不发现概率， ${{P}_{m}}$ 为漏警概率， ${{P}_{fa}}$ 为虚警概率。

检测概率与漏警概率的关系为：
${{P}_{d}}+{{P}_{m}}=P({{H}_{1}}|{{H}_{1}})+P({{H}_{0}}|{{H}_{1}})=1$
正确不发现概率与虚警概率的关系为：
${{P}_{n}}+{{P}_{fa}}=P({{H}_{0}}|{{H}_{0}})+P({{H}_{1}}|{{H}_{0}})=1$
假设 ${{H}_{0}}$ 出现的先验概率为 $P({{H}_{0}})$ ， ${{H}_{1}}$ 出现的先验概率为 $P({{H}_{1}})$ ，观测信号 $x (t)$ 在 ${{H}_{1}}$ 假设下的条件概率密度函数为：
$p(x|{{H}_{0}})=\frac{1}{\sqrt{(2\pi )}{{\sigma }_{n}}}{{e}^{-\frac{{{x}^{2}}}{2\sigma _{n}^{2}}}}$
$x (t)$ 在 ${{H}_{0}}$ 假设下的条件概率密度函数为：
$p(x|{{H}_{1}})=\frac{1}{\sqrt{(2\pi )}{{\sigma }_{n}}}{{e}^{-\frac{{{(x-s)}^{2}}}{2\sigma _{n}^{2}}}}$
设定判决门限 ${{V}_{T}}$ ，若输入信号的包络超过了该门限，则认为有目标，否则认为没有目标。故根据 ${{H}_{1}}$ 假设下的条件概率密度函数可得检测概率为：
${{P}_{d}}=\int_{{{V}_{T}}}^{\infty }{p(x|{{H}_{1}})dx}$
根据 ${{H}_{0}}$ 假设下的条件概率密度函数可得虚警概率为：
${{P}_{fa}}=\int_{{{V}_{T}}}^{\infty }{p(x|{{H}_{0}})dx}$
判决门限 ${{V}_{T}}$ 的选择与所采用的最佳检测检测准则有关。常用的最佳检测准则有最大后验概率准则、贝叶斯准则、极小极大化准则、最小错误概率准则、奈曼-皮尔逊准则等。在雷达信号检测领域，由于预先未知目标出现的概率，很难确定一次漏警所造成的损失。在一定的虚警概率下，使漏警概率最小或使检测概率最大，为奈曼-皮尔逊准则。

数学上，用如下表达式来描述奈曼-皮尔逊准则：
${{P}_{e}}={{P}_{m}}+{{\lambda }_{0}}{{P}_{fa}}=P({{H}_{0}}|{{H}_{1}})+{{\lambda }_{0}}P({{H}_{1}}|{{H}_{0}})$
由于检测概率与漏警概率之间满足 ${{P}_{d}}+{{P}_{m}}=1$ ，有
${{P}_{e}}=1-{{P}_{d}}+{{\lambda }_{0}}{{P}_{fa}}=1-P({{H}_{1}}|{{H}_{1}})+{{\lambda }_{0}}P({{H}_{1}}|{{H}_{0}})$
为提高判决质量，减小噪声干扰随机性的影响，一般需要对接收信号进行多次观测采样，对于 $N$ 次独立取样，输入信号为 $N$ 维空间，接收样本矢量表示为
$\mathbf{x}={{[{{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{N}}]}^{\text{T}}}$
当输入为 $x (t) = s (t) + n (t)$ 时， $N$ 个取样点的联合概率分布密度函数为 $,xN∣H1)p({{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdots ,{{x}_{N}}|{{H}_{1}})$ ，当输入为 $x (t) = n (t)$ 时，其联合概率分布密度函数为 $,xN∣H0)p({{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdots ,{{x}_{N}}|{{H}_{0}})$ ，检测概率和虚警概率分别为
${{P}_{d}}=\iint_{{{D}_{1}}}{\cdot }\cdot \cdot \int{p}({{x}_{1}}\text{,}{{x}_{2}}\text{,}\cdot \cdot \cdot \cdot {{x}_{N}}\mid {{H}_{1}})\text{d}{{x}_{1}}\text{d}{{x}_{2}}\cdot \cdot \cdot \text{d}{{x}_{N}}$

${{P}_{fa}}=\iint_{{{D}_{1}}}{\cdot }\cdot \cdot \int{p}({{x}_{1}}\text{,}{{x}_{2}}\text{,}\cdot \cdot \cdot {{x}_{N}}\mid H_0)\text{d}{{x}_{1}}\text{d}{{x}_{2}}\cdot \cdot \cdot \text{d}{{x}_{N}}$

则总错误概率与联合概率分布密度函数的关系为
${{P}_{\text{e}}}=1-\iint_{{{D}_{1}}}{\cdot }\cdot \cdot \int{\left[ p\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdot \cdot \cdot ,{{x}_{N}}\mid {{H}_{1}} \right)-{{\lambda }_{0}}p\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdot \cdot \cdot {{x}_{N}}\mid {{H}_{0}} \right) \right]}\text{d}{{x}_{1}}\text{d}{{x}_{2}}\cdot \cdot \cdot \text{d}{{x}_{N}}$
观察空间的划分应保证总错误概率 $Pe{{P}_{\text{e}}}$ 最小，即后面的积分值最大。因此有
$p\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdot \cdot \cdot ,{{x}_{N}}\mid {{H}_{1}} \right)-{{\lambda }_{0}}p\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdot \cdot \cdot {{x}_{N}}\mid {{H}_{0}} \right)\ge 0$
的点判定为有信号，否则判定为无信号。即
$\frac{p({{x}_{1}}\text{,}{{x}_{2}}\ldots {{x}_{N}}\mid {{H}_{1}})}{p({{x}_{1}}\text{,}{{x}_{2}}\ldots {{x}_{N}}\mid {{H}_{0}})}\left\{ \begin{aligned} & \ge {{\lambda }_{0}}\quad \\ & <{{\lambda }_{0}}\quad \\ \end{aligned} \right.$
参考文献：