【模板】前缀和

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题目描述

给定一个长度为n的数组a1,a2,....ana_1, a_2,....a_na1​,a2​,....an​.

接下来有q次查询, 每次查询有两个参数l, r.

对于每个询问, 请输出al+al+1+....+ara_l+a_{l+1}+....+a_ral​+al+1​+....+ar​

输入描述:

 

第一行包含两个整数n和q.

第二行包含n个整数, 表示a1,a2,....ana_1, a_2,....a_na1​,a2​,....an​.

接下来q行,每行包含两个整数   l和r.

1≤n,q≤1051 \le n, q \le 10^51≤n,q≤105
−109≤a[i]≤109-10^9 \le a[i] \le 10^9−109≤a[i]≤109
1≤l≤r≤n1 \le l \le r \le n1≤l≤r≤n

输出描述:

 

输出q行,每行代表一次查询的结果.

示例1

输入

复制3 2 1 2 4 1 2 2 3

3 2
1 2 4
1 2
2 3

输出

复制3 6

3
6

C++代码如下:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
    int n,q;
    cin>>n>>q;
    long long a[100005];
    long long pre[100005];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        pre[i]=pre[i-1]+a[i];
    }
    for(int i=0;i<q;i++){
        int l,r;
        cin>>l>>r;
        cout<<pre[r]-pre[l-1]<<endl;
    }
    return 0;
}

<think>嗯,用户问的是前缀和以及Python模板。首先,我得回忆一下前缀和的基本概念。前缀和应该是一种常用的算法技巧,用来快速计算数组区间内的和。对吧? 然后,我需要确定用户的需求是什么。可能他们是在准备面试或者在做题,遇到了需要频繁求区间和的问题,想找一个高效的方法。这时候,前缀和就能派上用场了,因为它可以将区间和的查询时间降到O(1)。 接下来,我得考虑怎么组织回答的结构。通常来说,先介绍概念,再讲原理,然后给出应用场景,最后给代码模板。这样用户能一步步理解。 在介绍前缀和的时候,要强调它如何通过预处理数组,生成一个前缀和数组,这样每次查询只需要用两个前缀和相减。比如原数组是nums,前缀和数组prefix,那么区间[i, j]的和就是prefix[j+1] - prefix[i]。这里要注意数组的索引问题,可能容易出错,比如前缀和数组的长度是n+1,初始元素为0,这样处理起来更方便。 然后需要举例子,比如具体的数组例子,计算前缀和数组,再演示如何求区间和。这样用户能更直观地理解。 接下来,应用场景部分,应该提到多次查询的情况,比如LeetCode的一些题目,像“区域和检索 - 数组不可变”或者更复杂的题目,可能结合哈希表来优化,比如求满足条件的子数组数目。这部分可能需要举几个例子,说明前缀和的不同应用方式。 然后是Python模板,要确保代码正确,并且符合用户的要求。使用Python的话,需要注意列表的初始化,循环的写法。比如前缀和数组一般初始化为[0],然后逐个累加。给出一个基础的模板,可能再给出一个优化空间的版本,比如用变量代替数组,这样节省内存。 还要考虑可能的边界情况,比如数组为空,或者i=0的情况,这时候prefix[i]是否存在。代码中的索引是否正确,比如在计算区间和时,是否j+1会导致越界? 用户可能还会想知道前缀和的时间复杂度。预处理是O(n),查询是O(1),如果有m次查询,总时间就是O(n + m),比每次都遍历区间O(n*m)高效很多。 另外,是否需要提到二维前缀和?可能用户的问题是一维的,但如果有余力的话,可以简单提一下,不过可能暂时不需要深入,避免信息过载。 还要检查是否遵循了系统级指令,比如数学公式用$...$,独立公式用$$...$$。比如在解释前缀和数组的时候,数学表达式要正确用符号包围。例如,prefix[i] = nums[0] + nums[1] + ... + nums[i-1],这样的公式要用LaTeX写出来。 最后,确保语言用中文,结构清晰,分点说明,代码模板正确,并且有注释说明。可能还需要测试一下给出的代码是否正确,避免出现语法错误或者逻辑错误。</think>### 前缀和原理与Python模板分步解析 #### 1. 核心概念 前缀和是一种**预处理数组**的技术,用于将数组的**区间求和操作**时间复杂度优化为$O(1)$。其本质是通过构建新数组$prefix$,满足: $$prefix[i] = \sum_{k=0}^{i-1} nums[k]$$ 即$prefix[i]$表示原数组前$i$个元素的和(注意索引偏移) #### 2. 关键公式 计算区间$[L, R]$的和时: $$\sum_{k=L}^{R} nums[k] = prefix[R+1] - prefix[L]$$ (索引设计保证$L=0$时公式仍然成立) #### 3. 构建过程演示 以数组`nums = [2, 1, 3, 5, 4]`为例: ``` prefix[0] = 0 prefix[1] = 2 = nums[0] prefix[2] = 2+1 = nums[0..1] prefix[3] = 2+1+3 = nums[0..2] prefix[4] = 2+1+3+5 = nums[0..3] prefix[5] = 2+1+3+5+4 = nums[0..4] ``` 求[1,3]区间和(即1+3+5):$prefix[4] - prefix[1] = 11 - 2 = 9$ #### 4. Python基础模板 ```python def prefix_sum(nums): n = len(nums) prefix = [0] * (n + 1) # 多一位存储初始0 for i in range(n): prefix[i+1] = prefix[i] + nums[i] return prefix # 使用示例 nums = [2, 1, 3, 5, 4] prefix = prefix_sum(nums) print(prefix[4] - prefix[1]) # 输出索引[1,3]的和:9 ``` #### 5. 内存优化版(滚动变量) ```python def range_sum(nums, queries): res = [] current_sum = 0 prefix = { -1: 0 } # 处理L=0的边界情况 for i in range(len(nums)): current_sum += nums[i] prefix[i] = current_sum for L, R in queries: res.append(prefix[R] - prefix[L-1]) return res ``` #### 6. 应用场景分析 - **高频区间查询**:如LeetCode 303题(数组不可变) - **二维扩展**:矩阵区块求和(LeetCode 304) - **哈希表结合**:统计满足条件的子数组数量(LeetCode 560和为K的子数组) - **差分配合**:处理区间修改操作(如批量增减) #### 7. 复杂度说明 | 操作 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | |------------|------------|------------| | 构建前缀和 | O(n) | O(n) | | 单次查询 | O(1) | - | #### 8. 典型错误警示 - 索引偏移错误:混淆原数组与前缀数组的索引关系 - 未初始化前缀数组:缺少初始的0值导致首项计算错误 - 整数溢出:大数据量时需注意数值范围(Python无此问题) 建议通过LeetCode 303、525、560等题目进行实践训练,逐步掌握前缀和的变形应用。
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