BZOJ2820 YY的GCD 莫比乌斯反演

最新推荐文章于 2023-01-08 18:37:31 发布

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本文介绍了一种利用质数筛法和μ函数计算特定数学表达式的算法。通过线性筛法预处理μ函数值，并运用枚举质数倍数的方法，在O(n)的时间复杂度内求解涉及质数及除数函数的问题。

$∑_{isprime(p)}∑_{a=1}^n∑_{b=1}^mgcd(a,b)==p$
$∑_{isprime(p)}\sum_{a=1}^{⌊\frac n p⌋}∑_{b=1}^{⌊\frac m p⌋}gcd(a,b)==1$
$∑_{isprime(p)}\sum_{a=1}^{⌊\frac n p⌋}∑_{b=1}^{⌊\frac m p⌋}∑_{d|gcd(a,b)}μ(d)$
$∑_{isprime(p)}\sum_{a=1}^{⌊\frac n p⌋}∑_{b=1}^{⌊\frac m p⌋}∑_{d|a∧d|b}μ(d)$
$∑_{isprime(p)}∑_{d=1}^{⌊\frac n p⌋}μ(d)⌊\frac n {pd}⌋⌊\frac m {pd}⌋$
令 $k=pd$
$∑_{k=1}^n∑_{isprime(p)∧p|k}μ(\frac k p)⌊\frac n k⌋⌊\frac m k⌋$
令 $F(k)=∑_{isprime(p)∧p|k}μ(\frac k p)$
$∑_{k=1}^nF(k)⌊\frac n k⌋⌊\frac m k⌋$
线性筛出 $μ$ 然后枚举质数的倍数复杂度约是 $O(n)$

#include<bits/stdc++.h>
#define inf 1000000000
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e7+5;
const int M=1e6+5;
int T,n,m,cnt;
bool mark[N];
int pri[M],mu[N];
ll f[N];
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
void getphi() {
    mu[1]=1;
    for(int i=2; i<N; i++) {
        if(!mark[i])pri[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1; j<=cnt&&pri[j]*i<N; j++) {
            mark[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0) {
                mu[i*pri[j]]=0;
                break;
            } else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1; i<=cnt; i++) {
        int p=pri[i];
        for(int j=1; j*p<N; j++)f[j*p]+=mu[j];
    }
    for(int i=1; i<N; i++)f[i]+=f[i-1];
}
int main() {
    getphi(),T=read();
    while(T--) {
        ll ans=0;
        n=read(),m=read();
        if(n>m)swap(n,m);
        for(int i=1,j; i<=n; i=j+1) {
            j=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans+=(f[j]-f[i-1])*(n/i)*(m/i);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}