【AGC017 F】Zigzag

本文探讨了在类似杨辉三角的结构中选取路径的问题,要求路径满足特定约束条件,如路径方向、相对位置及指定步骤方向。通过将路径表示为01序列,利用动态规划解决序列生成问题,确保序列间的前缀和关系与特定值的符合。

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Description

给出一个类似杨辉三角的三角形,要求在上边选出m条走n步的路径,并满足:

  1. 每条路径只能往左下/右下走,;
  2. 第i+1条路径必须在第i条路径的右侧(可以重合);

在给出一些要求,规定第x条路径的第y步一定往左下/右下走。
n,m≤20n , m \leq 20n,m20

Solution

首先转化一下题意,一条路径可以由一个01序列表示,那么要满足的要求就是:
1.前一个序列的某个前缀和小于等于后面的对应的前缀和。
2.给定某个序列的某个值。
那么很明显就有一个n22nn2^{2n}n22n的dp,稍微优化一下变成n32nn^32^nn32n,还是过不了。
下面考虑这样一个事情:
假设上一个的序列是000001001001,这个序列是000011001101。那么我们对于上一个序列可以做如下变化:将第i个1与当前序列的第i个1对齐,那么这样上一个序列还是满足条件的。
考虑这样有什么好处,设dp[i][step][mask]表示正在考虑第i个序列,并且第i个序列的前step个与mask相同。注意这里的mask实际上就是经过上面变化后的上一个序列。
那么考虑转移,首先如果step位要填的与mask的step位相同,直接填。否则如果这位填0,之前这位是1,那么不合法。如果这一位填1,之前填0,那么找到mask第step位之后的第一个1,设其为第k位(如果有的话),将第k位变成0, 然后将第step位变成1。这个就是之前的对其操作。

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