线性基求交与求并

说明

先说明一下这里的求交与求并分别是什么意思。就是有两个线性空间$V_1$与$V_2$，求出这两个空间的交与并。当然OI中的线性空间大部分是指异或操作下的，也就是常说的线性基。
如下所说的，都是异或的线性基，不区分加号与异或，即$\sum x_i=x_1\oplus x_2...\oplus x_3$。
当然可以扩展到任意线性空间，大致方法不变。

求交

明显答案也是一个线性基。
那么我们还需要如下引理：
设{αi=1−x}\{\alpha_{i= 1 - x}\}{αi=1−x​}是$V_1$的一组线性基，{βi=1−y}\{\beta_{i= 1 - y}\}{βi=1−y​}是$V_2$的一组线性基。设$W$是{β}\{\beta\}{β}中在$V_1$的基，如果α⋃{β∖W}\alpha \bigcup\{\beta \setminus{W}\}α⋃{β∖W}线性无关，那么$W$就是交的线性基。
从而可以得到：

如果${\beta }_i$能被{αi=1−x}\{\alpha_{i=1-x}\}{αi=1−x​}与${\beta }_{j=1...i-1}$线性表示出来，我们可以把${⨁}_{i=1}^x{\alpha }_i$或者${⨁}_{j=1}^{i-1}{\beta }_j$（注意要么加入$\alpha$要么加入$\beta$）加入答案的线性基中。
代码如下：

LinearBasis Merge(LinearBasis A,LinearBasis B) {
	LinearBasis All , C , D;
	All.clear();
	C.clear();
	D.clear();
	for (int i = 60;i >= 0;i--) {
		All.basis[i] = A.basis[i];
		D.basis[i] = 1ll << i;
	}
	for (int i = 60; i >= 0; i--) {
		if (B.basis[i]) {
			ll v = B.basis[i] , k = 0;
			bool can = true;
			for (int j = 60; j >= 0; j--) {
				if (v & (1ll << j)) {
					if (All.basis[j]) {
						v ^= All.basis[j];
						k ^= D.basis[j];
					} else {
						can = false;
						All.basis[j] = v;
						D.basis[j] = k;
						break;
					}
				}
			}

			if (can) {
				ll v = 0;
				for (int j = 60; j >= 0; j--) {
					if (k & (1ll << j)) {
						v ^= A.basis[j];
					}
				}
				C.insert(v);
			}
		}
	}
	C.build();
	return C;
}

同样的，如下代码也可以:

LinearBasis Merge(LinearBasis A,LinearBasis B) {
	LinearBasis All , C , D;
	All.clear();
	C.clear();
	D.clear();
	for (int i = 60;i >= 0;i--) All.basis[i] = A.basis[i];
	
	for (int i = 60; i >= 0; i--) {
		if (B.basis[i]) {
			ll v = B.basis[i] , k = 1ll << i;
			bool can = true;
			for (int j = 60; j >= 0; j--) {
				if (v & (1ll << j)) {
					if (All.basis[j]) {
						v ^= All.basis[j];
						k ^= D.basis[j];
					} else {
						can = false;
						All.basis[j] = v;
						D.basis[j] = k;
						break;
					}
				}
			}

			if (can) {
				ll v = 0;
				for (int j = 60; j >= 0; j--) {
					if (k & (1ll << j)) {
						v ^= B.basis[j];
					}
				}
				C.insert(v);
			}
		}
	}
	C.build();
	return C;
}

注意区别。

求并

通过容斥原理将并转化为交即可。