【AGC017F】Zigzag（状压DP）

Description

有一个$n$层的三角形，如图所示：

从顶端开始，每次可以选择向左下走或者向后下走，一直到达底端，形成一条路线。
问有多少种方案画$m$条线路满足：
- $m$条线路可以重合但是不能交叉
- 给出$k$条限制，每条限制形如：$A_i,B_i,C_i$，表示第$A_i$条路线的第$B_i$步只能向$C_i$方向走。

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Solution

首先可以想到一个简单的状压DP，用$f_{i,j}$表示第$i$条路线用二进制表示位$j$的方案数。但是这样转移是$O(m 2^{2n})$的。

我们将题意转化成：有$m$个$n$位二进制数（$0$表示向左走，$1$表示向右走），对于$i>1$，第$i$个数的前$j$位的$1$的数量一定大于等于第$i-1$个数的前$j$位的$1$的数量。
我们设$f_{i,j,S}$表示前$i$个数的前$j$位已经确定，$S$的前$j$位表示已经确定的数，后面的位表示限制，即接下来要填的数一定满足$\forall k$前$k$位中$1$的个数一定大于$S$的前$k$位的$1$的个数。
考虑如何转移。
1. $S$当前位是$0$，现在填$0$或者$S$当前位是$1$，现在填$1$，都是直接转移；
2. $S$当前位是$0$，现在填$1$，这时我们可以将限制放宽，将$S$中的下一个$1$变成$0$。（想一想，为什么）
3. $S$当前位是$1$，不能填$0$。
然后就做完辣～时间复杂度$O(nm2^n)$。

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Code

这个代码的时间复杂度有点假，本来还应该预处理对于每一个二进制数在每一个位置后的第一个的位置，但是由于我写得比较shi，加上这个就MLE了。

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 * Au: Hany01
 * Date: Aug 19th, 2018
 * Prob: AGC017F Zigzag
 * Email: hany01@foxmail.com
 * Inst: Yali High School
************************************************/

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef long double LD;
typedef pair<int, int> PII;
#define rep(i, j) for (register int i = 0, i##_end_ = (j); i < i##_end_; ++ i)
#define For(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i <= i##_end_; ++ i)
#define Fordown(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i >= i##_end_; -- i)
#define Set(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define x first
#define y second
#define pb(a) push_back(a)
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define SZ(a) ((int)(a).size())
#define INF (0x3f3f3f3f)
#define INF1 (2139062143)
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define y1 wozenmezhemecaia

template <typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }
template <typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }

inline int read() {
    static int _, __; static char c_;
    for (_ = 0, __ = 1, c_ = getchar(); c_ < '0' || c_ > '9'; c_ = getchar()) if (c_ == '-') __ = -1;
    for ( ; c_ >= '0' && c_ <= '9'; c_ = getchar()) _ = (_ << 1) + (_ << 3) + (c_ ^ 48);
    return _ * __;
}

const int maxn = 21, maxs = 1 << 20, maxk = maxn * maxn, MOD = 1e9 + 7;

struct Limits { int a, b, c; }lmt[maxk];
inline bool operator < (Limits A, Limits B) { return A.a < B.a; }

int n, m, k, f[2][maxn][maxs], all, cur, Ans, t;

inline void ad(int& x, int y) { if ((x += y) >= MOD) x -= MOD; }

int main()
{
#ifdef hany01
    freopen("agc017f.in", "r", stdin);
    freopen("agc017f.out", "w", stdout);
#endif

    n = read() - 1, m = read(), k = read();
    For(i, 1, k) lmt[i].a = read(), lmt[i].b = read(), lmt[i].c = read();
    sort(lmt + 1, lmt + 1 + k);

    f[0][n][0] = 1, all = 1 << n, cur = 1, t = 0;
    For(i, 1, m) {
        t ^= 1, Set(f[t], 0);
        rep(j, all) f[t][0][j] = f[t ^ 1][n][j];
        For(j, 1, n) rep(S, all) {
            ad(f[t][j][S], f[t][j - 1][S]);
            if (!(S >> (j - 1) & 1)) {
                int nS = S | (1 << (j - 1));
                For(k, j, n - 1) if (S >> k & 1) { nS ^= (1 << k); break; }
                ad(f[t][j][nS], f[t][j - 1][S]);
            }
        }
        while (cur <= k && lmt[cur].a == i) {
            rep(S, all) if ((S ^ ((lmt[cur].c) << (lmt[cur].b - 1))) & (1 << (lmt[cur].b - 1))) f[t][n][S] = 0;
            ++ cur;
        }
    }

    rep(S, all) ad(Ans, f[t][n][S]);
    printf("%d\n", Ans);

    return 0;
}