1192: [HNOI2006]鬼谷子的钱袋题解

最新推荐文章于 2024-04-26 22:03:22 发布

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本文探讨了如何使用最少数量的钱袋装载不同数量的金币，以满足特定支付需求的问题。通过将金币数量转换为二进制表示，可以找到最优解。文章提供了具体的实现代码。

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题目：1192: [HNOI2006]鬼谷子的钱袋

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MB
Submit: 3981  Solved: 2847
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Description

  鬼谷子非常聪明，正因为这样，他非常繁忙，经常有各诸侯车的特派员前来向他咨询时政。有一天，他在咸阳游历的时候，朋友告诉他在咸阳最大的拍卖行（聚宝商行）将要举行一场拍卖会，其中有一件宝物引起了他极大的兴趣，那就是无字天书。但是，他的行程安排得很满，他他已经买好了去邯郸的长途马车标，不巧的是出发时间是在拍卖会快要结束的时候。于是，他决定事先做好准备，将自己的金币数好并用一个个的小钱袋装好，以便在他现有金币的支付能力下，任何数目的金币他都能用这些封闭好的小钱的组合来付账。鬼谷子也是一个非常节俭的人，他想方设法使自己在满足上述要求的前提下，所用的钱袋数最少，并且不有两个钱袋装有相同的大于1的金币数。假设他有m个金币，你能猜到他会用多少个钱袋，并且每个钱袋装多少个金币吗？

Input
包含一个整数，表示鬼谷子现有的总的金币数目m。其中，1≤m ≤1000000000。
Output
只有一个整数h，表示所用钱袋个数
Sample Input
3
Sample Output
2

题解：

（神之做法） 注意到，一个数在二进制的表示下，所需要的单元是最少的。原因是，设这个数为 $N$ ，采用k进制，那么其位数是 $log_kN+1$ 位，需要的单元有（不算0）： $（k-1）*（log_kN+1）$ ，然后，我们求个导吧。其导函数为 $(k-1)/k*lnN + 1$ 明显在 $k>=2$ 时递增，又明显 $N=0$ 时 $k=2$ 要小于 $k=3$ .则其极小值在 $k=2$ 时取得（因为进位制至少为）。（证明有些不严谨，最好直接后一项减前一项）所以这道题就是求其二进制的位数。
代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    printf("%d\n",(int)log2(n)+1);
    return 0;
}