单纯形法、拉格朗日乘子法

本文介绍了线性规划中的单纯形法,包括其概念和基本思想,以及如何使用Python编程求解线性规划问题。此外,还探讨了非线性规划中的拉格朗日乘子法,并展示了相关代码及其运行结果。

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线性规划中的单纯形法

单纯形法的概念:
单纯形法 simplex method 求解线性规划问题的通用方法。单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。它的理论根据是:线性规划问题的可行域是 n维向量空间Rn中的多面凸集,其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。
单纯形法的基本思想是:先找出一个基本可行解,对它进行鉴别,看是否是最优解;若不是,则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别;若仍不是,则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限,故经有限次转换必能得出问题的最优解。

python编程求解

建立了danchun.txt,如下:在这里插入图片描述
代码:

import numpy as np
def pivot(d,bn):
    l = list(d[0][:-2])
    jnum = l.index(max(l)) #转入编号
    m = []
    for i in range(bn):
        if d[i][jnum] == 0:
            m.append(0.)
        else:
            m.append(d[i][-1]/d[i][jnum])
    inum = m.index(min([x for x in m[1:] if x!=0]))  #转出下标
    s[inum-1] = jnum
    r = d[inum][jnum]
    d[inum] /= r
    for i in [x for x in range(bn) if x !=inum]:
        r = d[i][jnum]
        d[i] -= r * d[inum]        
def solve(d,b
增广拉格朗日乘子法(Augmented Lagrangian Method,ALM)是一种解决约束优化问题的有效算法,通过引入额外的变量和拉格朗日乘子来处理线性或非线性约束。以下是使用C++实现的一个简单示例,用于求解线性规划问题(如最小化目标函数 subject to 约束),这里假设我们有一个线性方程组: ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <Eigen/Dense> // 定义目标函数系数矩阵A和常数向量b const int N = 5; // 行数或维度 const Eigen::MatrixXd A(N, N); const Eigen::VectorXd b(N); // 拉格朗日乘子lambda double lambda; // 原始函数f(x) double f(const Eigen::VectorXd& x) { return x.transpose() * A * x - 2 * b.dot(x); // 或者你的实际函数形式 } // 目标函数g(x, y) double g(const Eigen::VectorXd& x, const Eigen::VectorXd& y) { return f(x) + lambda * (A * x - b - y).norm(); // 添加约束项 } // ALM主循环 void augmented_lagrangian_method(Eigen::VectorXd& x, Eigen::VectorXd& y, double &mu) { double old_f = f(x); for (int iteration = 0; iteration < 100; ++iteration) { // 设置迭代次数 // 解x(对于线性规划通常使用单纯形法) // 这里仅做展示,替换为你的优化求解方法 Eigen::VectorXd new_x = solveLinearProgramming(A, b, y); // 假设solveLinearProgramming是你自定义的方法 // 更新y y = A * new_x - b; // 更新拉格朗日乘子 if (new_x.isApprox(old_x)) break; // 如果收敛,跳出循环 lambda *= 2; // 根据需要调整步长策略 old_f = f(new_x); } } int main() { // 初始化x和y Eigen::VectorXd x(N), y(N); double mu = 0.1; // 初始拉格朗日乘子 // 开始ALM augmented_lagrangian_method(x, y, mu); std::cout << "Optimal solution: x = " << x.transpose() << ", y = " << y.transpose() << std::endl;
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