线性规划单纯形法、大M法，非线性规划的拉格朗日乘子法的手推法,excel、python编程以及python包编程

最新推荐文章于 2025-03-25 22:56:39 发布

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#python #机器学习 #线性规划 #编程语言

本文详细介绍了线性规划的单纯形法、大M法及非线性规划的拉格朗日乘子法，涵盖理论解析、Excel操作、Python编程与包应用，对比各种求解方法的效率与精度。

线性规划单纯形法、大M法，非线性规划的拉格朗日乘子法的手推法,excel、python编程以及python包编程

（1）线性规划

单纯形法概念

定义

一般线性规划问题中当线性方程组的变量数大于方程个数，这时会有不定数量的解，而单纯形法是求解线性规划问题的通用方法。
具体步骤是，从线性方程组找出一个个的单纯形，每一个单纯形可以求得一组解，然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小了，决定下一步选择的单纯形。通过优化迭代，直到目标函数实现最大或最小值。
换而言之，单纯形法就是秉承“保证每一次迭代比前一次更优”的基本思想：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进后更优的基本可行解，再鉴别；若仍不是，则再转换，按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解，也可用此法判别。
在这里插入图片描述

标准形式

由于目标函数和约束条件内容和形式上的差别，线性规划问题可以有多种表达式。因此，为了便于讨论和制定统一的算法，在制定单纯形法时，规定使用单纯形法求解的线性规划问题需要有一个标准形式，它有下面三个特征：
(1) 标准形式目标函数统一为求极大值或极小值，但单纯形法主要用来求解极大值；
(2) 所有约束条件（除非负条件外）都是等式，约束条件右端常数项bi全为非负值；
(3) 所有变量的取值全为非负值。
下式为满足上述特征的线性规划问题的标准形式
在这里插入图片描述其中，目标函数中的变量xj(x1,x2,…xn)称为决策变量（控制变量），它的取值受m项资源的限制，它的系数称为价值系数cj。s.t.括号下的内容是约束条件，用bi(i=1,···,m)表示第i种资源的拥有量，用aij表示变量xj取值为1个单位时所消耗或含有的第i种资源的数量，通常称aij为技术系数或工艺系数。
除非负条件外的n个约束条件所组成的n元方程组，若可解可求出n个变量xj的值。求出的n个变量所构成的列向量X=（x1，···xn）T，若能再满足非负条件(即决策变量满足所有约束条件)，称为线性规则问题的可行解。使得目标函数值z达到max最大的可行解即为最优解，求解线性规划问题的目的就是要找出目标函数的最优解。
下图为上式标准形式的线性规划问题的展开型：
在这里插入图片描述

步骤

①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，典范型方程组要实现变量转换（所有变量为非负）、目标转换（统一为求极大值，若求极小值可乘以(-1)）、约束转换（由不等式转化为等式）。然后，找出基本可行解作为初始基可行解。列出初始单纯形表。
②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。
③若基本可行解存在，从初始基可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。
④按步骤3进行迭代，直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。
⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。

大M法概念

定义

大M法(big M method)是线性规划问题的约束条件(=)等式或（≥）大于型时，使用人工变量法后，寻找其初始基可行解的一种方法
在线性规划问题的约束条件中加人工变量后，要求在目标函数中相应地添加认为的M或一M为系数的项。在极大化问题中，对人工变量赋于一M作为其系数；在极小化问题中，对人工变量赋于一个M作为其系数，M为一任意大（而非无穷大）的正数。把M看作一个代数符号参与运算，用单纯形法求解，故称此方法为大M法
在这里插入图片描述

步骤

应用单纯形法在改进目标函数的过程中，如果原问题存在最优解，必然使人工变量逐步变为非基变量，或使其值为零。否则，目标函数值将不可能达到最小或最大。在迭代过程中，若全部人工变量变成非基变量，则可把人工变量所在的列从单纯形表中删去，此时便找到原问题的一个初始基可行解。若此基可行解不是原问题的最优解，则继续迭代，直至所有的检验数都小于等于0，求得最优解为止

EXCEL求解

下面用到的都是求解这个实例:
在这里插入图片描述

单纯形法

步骤

先输入B2到E9的内容
然后在F2：F5输入下面的算式
F2 =MMULT(B6:D6,F7:F9)
F3 =MMULT(B3:D3,F7:F9)
F4 =MMULT(B4:D4,F7:F9)
F5 =MMULT(B5:D5,F7:F9)
在这里插入图片描述选择工具—规划求解

在这里插入图片描述
设置下面的参数

设置好之后，选择“选项”，进行配置，弄好之后就可以确定，然后在最初的界面选择“求解”

就会出现下面的报告

在这里插入图片描述

在这个运算结果里面可以看到最大值为2，x1=x2=0,x3=2

在最后的表格中也会看见x1x2x3的值，以及最优解为2

在这里插入图片描述

大M法

步骤
在这里插入图片描述

按照上述步骤，最终得到的如下：
得到最优解x1=x2=0,x3=2,最优值为2

Python编程

# encoding=utf-8
import numpy as np  # python 矩阵操作lib
class Simplex():
    def __init__(self):
        self._A = ""  
        self._b = ""  
        self._c = ''  
        self._B = ''  
        self.row = 0  
    def solve(self):
        A = []
        b = []
        c = []
        self._A = np.array(A, dtype=float)
        self._b = np.array(b, dtype=float)
        self._c = np.array(c, dtype=float)
        self._A = np.array([[0,2,-1],[0,1,-1]],dtype=float)
        self._b = np.array([-2,1],dtype=float)
        self._A = np.array([[1,-1,1]])# 等式约束系数self._A，3x1维列向量
        self._b = np.array([2])# 等式约束系数self._b，1x1数值
      
        self._c = np.array([2,1,1],dtype=float)
        self._B = []
        self.row = len(self._b)
        self.var = len