友谊赛 Rainyrabbit 爱求和

题面描述

已知定值 $c$，给出 $a,b$ 的值，求 ${\sum }_{i=1}^a{\sum }_{j=1}^b{\sum }_{k=0}^c{\sum }_{d=1}^i{d}^k[\frac{i}{lcm(d,j)}]$ 模$998244353$的值。共 $t$ 次询问。
$1⩽t⩽200000,1⩽a⩽10^6,1⩽b⩽10^{18},0⩽c⩽10^{18}$
时间限制3s，空间限制512MB。

题解

不难看出原式中的等比数列求和，将原式变为：
${\sum }_{i=1}^a{\sum }_{j=1}^b{\sum }_{d=1}^i[\frac{i}{lcm(d,j)}]g(d)$
其中 $g(n)={\sum }_{i=0}^c{n}^i$，即：
$g(n)=\{\begin{array}{l}c+1(d=1)\\ \frac{d^{c+1}-1}{d-1}(d>1)\end{array}$
考虑到 $[\frac{i}{lcm(d,j)}]$ 即为不超过 $i$ 且同时为 $d,j$ 倍数的数的个数，枚举 $d,j$ 的公倍数，得到：
${\sum }_{i=1}^a{\sum }_{j=1}^b{\sum }_{d=1}^{i}g(d){\sum }_{k=1}^i[j|k][d|k]$
交换求和符号顺序：
${\sum }_{i=1}^a{\sum }_{k=1}^i{\sum }_{j|k}^b{\sum }_{d|k}^{i}g(d)$
设 $f(n)={\sum }_{d|n}g(d)$，则有：
${\sum }_{i=1}^a{\sum }_{k=1}^i{\sum }_{j|k}^{b}f(i)$
考虑每个 $f(i)$ 被计算的次数，得到等价的式子：
${\sum }_{i=1}^a{\sum }_{j|i}^{b}f(i)(a-i+1)$
设 $b_2=\min (a,b)$，得到最终的式子：
$(a+1){\sum }_{i=1}^a{\sum }_{j|i}^{b_2}f(i)-{\sum }_{i=1}^a{\sum }_{j|i}^{b_2}f(i)i$
对询问的 $b_2$ 排序，用分块维护式子的值即可。预处理 $f$ 函数的值。
时间复杂度 $O(a\ln a+t\sqrt{a})$，空间复杂度 $O(a)$

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#define R register int
#define L long long
#define I inline
#define N 1000001
#define P 998244353
int ans[200000],g[N],inv[N],f[N],c1[1000488],c2[1000488],sum1[977],sum2[977],prime[78498];
I void Add(int&x,int y){
	x+=y;
	if(x>=P){
		x-=P;
	}
}
I int PowMod(int x,int y){
	int res=1;
	while(y!=0){
		if((y&1)==1){
			res=(L)res*x%P;
		}
		y>>=1;
		x=(L)x*x%P;
	}
	return res;
}
struct Query{
	int A,B,Id;
	I friend bool operator<(Query x,Query y){
		return x.B<y.B;
	}
}q[200000];
I void Modify(const int x){
	const int d1=f[x],d2=(L)x*f[x]%P;
	Add(c1[x],d1);
	Add(sum1[x>>10],d1);
	Add(c2[x],d2);
	Add(sum2[x>>10],d2);
}
I int GetAns(int x){
	int res1=0,res2=0,b=x>>10;
	for(R i=0;i!=b;i++){
		Add(res1,sum1[i]);
		Add(res2,sum2[i]);
	}
	for(R i=b<<10;i<=x;i++){
		Add(res1,c1[i]);
		Add(res2,c2[i]);
	}
	return((1ll+x)*res1-res2+P)%P;
}
int main(){
	inv[1]=1;
	int t,a=0;
	scanf("%d",&t);
	L c;
	scanf("%lld",&c);
	c++;
	g[1]=c%P;
	c%=P-1;
	for(R i=2;i!=N;i++){
		inv[i]=(L)(P-P/i)*inv[P%i]%P;
		if(f[i]==0){
			prime[a]=i;
			g[i]=PowMod(i,c);
			a++;
		}
		for(R j=0;prime[j]*i<N;j++){
			int t=i*prime[j];
			f[t]=-1;
			g[t]=(L)g[i]*g[prime[j]]%P;
			if(i%prime[j]==0){
				break;
			}
		}
	}
	for(R i=2;i!=N;i++){
		g[i]=(g[i]-1ll)*inv[i-1]%P;
	}
	for(R i=1;i!=N;i++){
		for(R j=i;j<N;j+=i){
			if(f[j]==-1){
				f[j]=0;
			}
			Add(f[j],g[i]);
		}
	}
	for(R i=0;i!=t;i++){
		q[i].Id=i;
		scanf("%d",&q[i].A);
		L b;
		scanf("%lld",&b);
		q[i].B=q[i].A>b?b:q[i].A;
	}
	std::sort(q,q+t);
	a=1;
	for(R i=0;i!=t;i++){
		while(a<=q[i].B){
			for(R j=a;j<N;j+=a){
				Modify(j);
			}
			a++;
		}
		ans[q[i].Id]=GetAns(q[i].A);
	}
	for(R i=0;i!=t;i++){
		printf("%d\n",ans[i]);
	}
	return 0;
}

此题限于式子结构不可莫比乌斯反演。