模拟赛 信号的覆盖

题面描述

已知整数 $n$。$f_i={\sum }_{j=1}^{n}dis(i,j)$，已知 $f_1,f_2,\cdots f_n$，且对于任意的 $1⩽i<j⩽n$ 满足 $f_i\ne f_j$。构造一颗由 $n$ 个节点构成的树满足对于每个节点的 $f$ 值与给定的值相同，或输出无解。
$1⩽n⩽10^5,0⩽f_i⩽10^{12}$
时间限制1s，空间限制512MB。

题解

若有解，则 $f$ 值最小的点一定是树的重心，$f$ 值最大的点一定是叶子。不妨以重心为根。若点 $i$ 为点 $j$ 的父亲节点，则一定有 $f_i<f_j$。当 $j$ 为根算出 $f_j$ 后，换根到 $i$ 时，$i$ 到 $j$ 之间的边的贡献从 $n-siz{e}_j$ 变为了 $siz{e}_j$，其他边的贡献不变。因此 $f_i=f_j+2siz{e}_j-n$。将点按 $f$ 值排序，从 $f$ 值最大的点开始，找它的父亲并维护其 $size$。通过map等STL可以做到时间复杂度 $O(n{\log }_{2}n)$。
然而，当 $f$ 值相对大小不变时，树是可能无解的，因此随便选一个点当根求一次 $f$ 并与输入的 $f$ 值进行比对，时间复杂度 $O(n)$。
所以总时间复杂度 $O(n{\log }_{2}n)$，空间复杂度 $O(n)$。

#include<stdio.h>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
#define R register int
#define L long long
#define N 100001
L f[N],f2[N],q[N];
int fa[N],sz[N];
vector<int>G[N];
inline void Check(int x){
	for(vector<int>::iterator T=G[x].begin();T!=G[x].end();T++){
		Check(*T);
		f2[x]+=f2[*T]+sz[*T];
	}
}
int main(){
	int n;
	scanf("%d",&n);
	map<L,int>P;
	for(R i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",f+i);
		P[f[i]]=i;
		q[i-1]=f[i];
		sz[i]=1;
	}
	sort(q,q+n);
	for(R i=n-1;i!=0;i--){
		int g=P[q[i]];
		L t=q[i]+(sz[g]<<1)-n;
		if(P[t]==0){
			printf("-1");
			return 0;
		}
		fa[g]=P[t];
		sz[fa[g]]+=sz[g];
		G[fa[g]].push_back(g);
	}
	int root=P.begin()->second;
	Check(root);
	if(f2[root]==f[root]){
		for(R i=1;i<=n;i++){
			if(i!=root){
				printf("%d %d\n",i,fa[i]);
			}
		}
	}else{
		printf("-1");
	}
	return 0;
}