48.0KHz 的音频降采样为44.1KHz，明显不太容易，因为它并不能通过简单的抽样来实现。以标题为引，本文下述内容将全面的讲解重采样技术并提供实现代码。并且比MATLAB和Python/scipy 提供的resample函数效率更高，便于进行嵌入式开发。可以先收藏一下，以后没准用的到。
重采样有下述5种情况：
① 整倍数降采样；
② 整数倍升采样；
③ 分数比例重采样
④ 任意比例重采样
⑤ 角度域重采样
一、降采样：
在振动数据和音频数据降采样时，首先是不能直接抽取，因为会产生混叠现象。下图为320Hz 正弦数据，采样率1000Hz,直接进行5倍抽取至200Hz，从时域观察看出现了一个不应该存在的周期信号。看下面的频谱图，该频率为80Hz。降采样产生的无中生有的“混叠”信号，可能会让人产生误判。所以在抽取数据前先滤波。
根据奈奎斯特定律：200Hz采样率内不应该有大于100Hz的信号，因此降采样前采用低通为100Hz的低通滤波器对1000Hz数据进行滤波。
本文利用Sinc函数设计低通滤波器
num_taps = 2048 # sinc 波形长度，越长越好。if l <= num_taps: # 如果信号长度小于滤波器长度，则将num_taps设置为小于信号长度的最大的可以被2整除的数num_taps = l-1 if l % 2 == 1 else lt = np.arange(-num_taps // 2, num_taps // 2) / fs # fs 原始信号采样率，如上例中的1000Hzsinc_filter = np.sinc(2 * cutoff_freq * t) # cutoff_freq 截断频率B，如上例中的100Hz。因为归一化所以，没有乘幅值系数2Bsinc_filter *= get_window('hamming', num_taps) # 应用汉明窗截断sinc函数sinc_filter /= np.sum(sinc_filter) # 归一化result = np.convolve(a, sinc_filter, mode='same') #卷积
note: “这个滤波器的设计原理将另起一篇文章讲解”
公式参考："https://en.wikipedia.org/wiki/Sinc_filter”
二、升采样：
升采样是不是就是直接插值？答案是否定的。用差值代替重采样会引入噪音和误差：例：对长度0.02s,采样率为1000Hz，幅值为1，频率为320Hz的正弦信号进行重采样和插值到2000Hz.
note: “上述绘图没有加窗所以有一些频谱泄露，幅值小于1，频谱泄露不是本文重点”
插值后：从时域来看虽然波形与原始波形一致，但是在频谱上却使幅值降低明显，同时在高频处引入噪音。音频质量下降。
重采样：从时域来看，信号有一些因为滤波造成的延迟（当然这个延迟是容易弥补的），但很好的绘制了该正弦波形。在频率上没有引入噪音，音频质量提高。
重采样技术的实现与线性插值不同，是通过先插0后滤波来实现的。
低通滤波器截至带宽为：bw = 原始数据采样fs/2。
同样采用Sinc函数设计低通滤波器：
num_taps = 2048 # sinc 波形长度，越长越好。t = np.arange(-num_taps // 2, num_taps // 2) / fs_new # 升采样的目标采样率 ，上例2000hzsinc_filter = np.sinc(2 * cutoff_freq * t) # cutoff_freq = bw = 原始数据采样fs/2。sinc_filter *= get_window('hamming', num_taps) # 应用汉明窗sinc_filter /= np.sum(sinc_filter) # 归一化x_new = factor * np.convolve(x_new, sinc_filter, mode='same') # 卷积滤波
上述讲述降采样与升采样的基本过程，但是因为使用的插0与抽取数据，所以上述方法仅适用于整数倍的采样率处理。
如何和来完成标题中“48.0KHz 的音频重采样为44.1KHz”的任务呢？
方法一：先将48000Hz,升采样147倍至两个采样率的最小公倍数7056000，然后降采样160倍至44100Hz。这种方法是MATLAB采用的方法，即分数比例重采样，有时计算开销比较大。。。。。
方法二：傅里叶变换重采样，先将原始数据进行fft变换、在频域中进行数据处理然后进行傅里叶逆变换。Python/scipy 提供的函数resample即采用这种方法。稳定的计算开销较大。。。。。。
方法三：插值法
流程如下：
红圈为原始数据，采样率为48000Hz；首先进行15倍升采样，获取蓝色圆点数据，采样率48000Hz*15；然后进行线性插值至44100Hz采样点数据，如上图绿色数据点。完整代码再文章末尾。
factor = 15 # 15倍插0x_new = np.zeros(len(x) * factor)# 插零for i in range(len(x)):x_new[i * factor] = x[i]# 滤波cutoff_freq = fs_new * cutoff_freq_pre # 此处滤波器截止频率为目标采样率的一半 (Hz) cutoff_freq_pre默认滤波0.5t = np.arange(-num_taps // 2, num_taps // 2) / (fs * factor) # 目标升采样率(fs * upsample_factor)sinc_filter = np.sinc(2 * cutoff_freq * t)sinc_filter *= get_window('hamming', num_taps) # 应用汉明窗sinc_filter /= np.sum(sinc_filter)x_15 = factor * np.convolve(x_new, sinc_filter, mode='same') # 差入了factor个0， 需要补偿回来t_15 = np.arange(0, len(x_new), 1) / (fs * factor)t_new = np.arange(0, round(len(x_15)*fs_new/(factor*fs)), 1) / fs_newx_new = np.interp(t_new, t_15, x_15)
补充：上述过程在进行15倍升采样时滤波器截至频率为44100Hz/2;
线性插值时可先插值到采样率44100Hz的倍数，再进一步降采样；
误差分析：
SDR，全称是Signal to Distortion Ratio，中文可以翻译为信噪比。在信号处理中，信噪比是用来衡量信号质量的一个指标，它表示的是信号功率与噪声功率的比值。在SDR中，信号是指我们想要处理的原始数据，而噪声是指信号处理过程中引入的干扰和误差。信噪比越高，说明信号的质量越好，噪声的影响越小。SDR的单位是分贝（dB）
限于篇幅，本文对于角度域重采样先不涉及。
代码参考：下述代码支持任何频率的重采样。通时该功能已经集成到了本号（deepdaq）的开源振动噪音软件中：
import mathimport timeimport numpy as npfrom matplotlib import pyplot as pltfrom matplotlib.ticker import MultipleLocatorfrom scipy.signal import get_window# 升采样def _resample(x, fs, fs_new, cutoff_freq_pre, num_taps=2048):x_new = []t_new = []l = len(x) # 信号长度if l <= num_taps: # 如果信号长度小于滤波器长度，则将num_taps设置为小于信号长度的最大的可以被2整除的数num_taps = l - 1 if l % 2 == 1 else lif fs < fs_new: # 升采样if fs_new % fs == 0: # 整数倍升采样print(fs,fs_new,'ok')factor = fs_new // fsx_new = np.zeros(len(x) * factor)# 插零for i in range(len(x)):x_new[i*factor] = x[i]# 滤波cutoff_freq = fs * cutoff_freq_pre # 滤波器截止频率 (Hz) 默认滤波0.5# 对插0后的函数进行滤波，因为这个滤波器是先插值后滤波所以这个截至频率计算公式为 fs* cutoff_freq_pre/fs_new，所以t要除以fs_newt = np.arange(-num_taps // 2, num_taps // 2) / fs_newsinc_filter = np.sinc(2 * cutoff_freq * t)sinc_filter *= get_window('hamming', num_taps) # 应用汉明窗sinc_filter /= np.sum(sinc_filter)x_new = factor * np.convolve(x_new, sinc_filter, mode='same')t_new = np.arange(0, len(x_new), 1) / fs_newelse: # 非整数倍升采样# 分数倍升采样，计算最小公倍数，如果最小公倍数大于原始低样率的15倍，则为任意采样率比# 计算最大公约数gcd = math.gcd(fs, fs_new)# 计算最小公倍数lcm = (fs * fs_new) // gcdif lcm // fs <= 50: # 分数倍升采样，先将原始采样率升采样至最小公倍数，一般不应该超过50倍print((fs * fs_new)//math.gcd(fs, fs_new) // fs_new)# 先升采样至最大公倍数print(fs,lcm)x_new, t_new = _resample(x, fs, lcm, 0.5)# 在降采样x_new, t_new = _resample(x_new, lcm, fs_new, 0.5)else: # 如果重采样前后采样率接近,fs_new // fs == 1，则进行15倍升采样（提升精度）,插值成目标采样率。if fs_new // fs == 1:upsample_factor = 15x_15, t_15 = _resample(x, fs, upsample_factor*fs, 0.5) # 已经低通滤波了t_new = np.arange(0, round(len(x_15)*fs_new/(upsample_factor*fs)), 1) / fs_newx_new = np.interp(t_new, t_15, x_15)elif fs_new // fs > 1: #如果重采样前后采样率不接近,fs_new // fs > 1，先二倍升采样，然后进行15倍升采样（提升精度）,插值成目标采样率。print('run')x_2, t_2 = _resample(x, fs, 2 * fs, 0.5) # 此处进入递归x_new, t_new = _resample(x_2, 2 * fs, fs_new, 0.5)elif fs > fs_new: # 降采样if fs % fs_new == 0: # 整数倍降采样factor = fs // fs_new# 滤波cutoff_freq = fs_new * cutoff_freq_pre # 滤波器截止频率 (Hz) 默认滤波0.5# 对原始函数进行滤波，因为这个滤波器是先滤波后插值所以这个截至频率计算公式为 fs_new* cutoff_freq_pre/fs，所以t要除以fst = np.arange(-num_taps // 2, num_taps // 2) / fs # 对原始函数进行滤波sinc_filter = np.sinc(2 * cutoff_freq * t)sinc_filter *= get_window('hamming', num_taps) # 应用汉明窗sinc_filter /= np.sum(sinc_filter)x_new = np.convolve(x, sinc_filter, mode='same')# 抽样x_new = x_new[::factor]# x_new = x[::factor] # 直接抽取t_new = np.arange(0, len(x_new), 1) / fs_newelse: # 非整数倍降采样# 分数倍降采样，计算最小公倍数，如果最小公倍数大于原始低样率的15倍，则为任意采样率比# 计算最大公约数gcd = math.gcd(fs, fs_new)# 计算最小公倍数lcm = (fs * fs_new) // gcdif lcm // fs_new <= 50: # 分数倍升采样，先将原始采样率升采样至最小公倍数，一般不应该超过50倍print((fs * fs_new) // math.gcd(fs, fs_new) // fs_new)# 先升采样至最大公倍数print(fs, lcm)x_new, t_new = _resample(x, fs, lcm, 0.5)print(lcm, fs_new, 'run')# 在降采样x_new, t_new = _resample(x_new, lcm, fs_new, 0.5)else: #进行15倍升采样（提升精度）,插值成目标采样率。factor = 15 # 15倍插0x_new = np.zeros(len(x) * factor)# 插零for i in range(len(x)):x_new[i * factor] = x[i]# 滤波cutoff_freq = fs_new * cutoff_freq_pre # 此处滤波器截止频率为目标采样率的一半 (Hz) cutoff_freq_pre默认滤波0.5t = np.arange(-num_taps // 2, num_taps // 2) / (fs * factor) # 目标升采样率(fs * upsample_factor)sinc_filter = np.sinc(2 * cutoff_freq * t)sinc_filter *= get_window('hamming', num_taps) # 应用汉明窗sinc_filter /= np.sum(sinc_filter)x_15 = factor * np.convolve(x_new, sinc_filter, mode='same') # 差入了factor个0， 需要补偿回来t_15 = np.arange(0, len(x_new), 1) / (fs * factor)t_new = np.arange(0, round(len(x_15)*fs_new/(factor*fs)), 1) / fs_newx_new = np.interp(t_new, t_15, x_15)elif fs == fs_new: # 采样率不变x_new = xt_new = np.arange(0, len(x_new), 1) / fs_newreturn x_new, t_new# 绘制频率响应def plot_frequency_response(x, fs):# 计算频率响应n = len(x)frequencies = np.fft.rfftfreq(n, 1 / fs)fft_amplitude = 2*np.abs(np.fft.rfft(x))/nreturn frequencies, fft_amplitudeif __name__ == '__main__':fs = 1000 # 采样率duration = 0.02 # 信号持续时间，单位为秒n_samples = int(fs * duration)# 生成一个正弦信号t = np.linspace(0, duration, n_samples, endpoint=False)# 生成正弦信号x = 0*np.sin(2 * np.pi * 50 * t)+np.sin(2 * np.pi * 320 * t)# white_noise = np.random.normal(0, 1, n_samples)t_original = np.arange(0, n_samples, 1) / fs# 采样率加倍fs_new = 2000start_time = time.time()x_new, t_new = _resample(x, fs, fs_new, 0.5)end_time = time.time()print('resample time:', end_time - start_time)# 二倍插值t_interp = np.linspace(0, duration, n_samples * 2, endpoint=False)x_interp = np.interp(t_interp, t, x)# 时域信号绘图plt.figure(figsize=(10, 6))plt.subplot(2, 1, 1)# plt.plot(t_original, white_noise, 'b-', marker='o', label="Original Signal (fs=1000Hz)")plt.plot(t, x, 'b-', marker='o', linewidth=2,label="Original Signal (fs=1000Hz)")plt.plot(t_new, x_new, 'r--', marker='o', label="resampled Signal (fs=2000Hz)")plt.plot(t_interp, x_interp, 'y--', marker='o', label="interp Signal (fs=2000Hz)")plt.title("Original vs resampled Signal")plt.xlabel("Time [s]")plt.ylabel("Amplitude")plt.grid()plt.legend()# 频域信号绘图plt.subplot(2, 1, 2)frequencies, fft_amplitude = plot_frequency_response(x, fs)frequencies_new, fft_amplitude_new = plot_frequency_response(x_new, fs_new)frequencies_interp, fft_amplitude_interp = plot_frequency_response(x_interp, fs_new)plt.plot(frequencies, fft_amplitude, 'b-', marker='o', label="Original Signal (fs=1000Hz)")plt.plot(frequencies_new, fft_amplitude_new, 'r--', linewidth=2, marker='o', label="resampled Signal (fs=2000Hz)")plt.plot(frequencies_interp, fft_amplitude_interp, 'y--', linewidth=2, marker='o', label="interp Signal (fs=2000Hz)")# 细化刻度plt.gca().xaxis.set_major_locator(MultipleLocator(50))plt.xlabel('Frequency (Hz)')plt.ylabel('Amplitude')plt.grid(True)plt.title("Frequency Response")plt.legend()plt.tight_layout()plt.show()
感谢小伙伴的关注，后续将陆续为大家奉上数字数据处理原理及代码实现等内容....
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