乘积和，51nod1777，凸包上三分

最新推荐文章于 2024-02-17 10:49:33 发布

原创最新推荐文章于 2024-02-17 10:49:33 发布 · 211 阅读

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本文探讨了一种利用三分法求解最优代价的算法问题。通过观察特定式子，将其转化为斜率形式，并利用三分法在凸包上寻找产生最大贡献的点。代码示例展示了如何实现这一算法，包括读取输入、计算累积和、维护凸包以及最终求解最优解的过程。

正题

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首先可以列出一条式子，无论是把他放在前面还是后面，都满足：若x放在y前面，就有代价= $sum[x-1]-sum[y-1]-(x-y)*a[x]$

这个可以自己验算一下，在做题的时候我直接把这个东西拆开来，就变成了一个类似整体减去一个值，再求最大后缀的问题，那个问题是不能poly log解决的，很麻烦。

结果看了题解，发现这个很简单，因为观察上面的式子，可以发现不能确定的只有 $-sum[y-1]+a[x]*y$ ，那么这个东西若令 $f[x]=max(a[x]y-sum[y-1])$ ，就是一个斜率的形式，产生贡献的点就在凸包上面了，由于 $-a[x]$ 不是单调的，于是可以三分了。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

const int N=200010;
int n,a[N];
long long sum[N];
struct node{
	long long x,y;
}sta[N];
int top=0;

void read(int&x){
	char ch=getchar();x=0;
	int f=1;
	while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}

long long get_x(node a,node b,node c){
	long long x1=b.x-a.x,y1=b.y-a.y,x2=c.x-a.x,y2=c.y-a.y;
	return x1*y2-x2*y1;
}

long long get_value(int x,int y){
	if(y==0) return 0;
	return sum[x-1]-1ll*a[x]*x+sta[y].y+a[x]*sta[y].x;
}

long long get_max(int x){
	int l=1,r=top;
	int ans=0;
	while(l<r){
		int op=r-l,mid1=l+op/3,mid2=l+op*2/3;
		long long v1=get_value(x,mid1),v2=get_value(x,mid2);
		if(v1<v2) l=mid1+1;
		else if(v1>v2) r=mid2-1;
		else ans=mid1,l=mid1+1,r=mid2-1;
	}
	return max(get_value(x,ans),get_value(x,l));
}

int main(){
	long long tot=0;
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]),sum[i]=sum[i-1]+a[i],tot+=1ll*i*a[i];
	sta[++top]=(node){1,-sum[0]};
	sta[++top]=(node){2,-sum[1]};
	for(int i=3;i<=n+1;i++){
		node X=(node){i,-sum[i-1]};
		while(top>=2 && get_x(sta[top-1],sta[top],X)>=0) top--;
		sta[++top]=X;
	}
	long long ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans=max(ans,get_max(i));
	printf("%lld",tot+ans);
}