2019年全国1卷理数第20题

$f(x)=\sin x-\ln (x+1)$
证明:
$1.\exists !x\in (-1,\frac{\pi }{2}),f^{\prime }(x)$取到极大值.
$2.f(x)$有且仅有2个零点.

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思路:
$1.1$求二阶导$f^{\prime \prime }(x)$
$1.2$研究$f^{\prime \prime }(x)$在$(-1,\frac{\pi }{2})$的单调性
$1.3$根据单调性找特殊点运用零点存在性定理

$零点个数\{\begin{array}{l}AE\{\begin{array}{l}解方程\\ 构造+零点存在性定理\end{array}\\ TE\{\begin{array}{l}猜特殊点\\ 零点存在性定理\end{array}\end{array}$

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$AE$:代数方程
$TE$:超越方程