控制工程基础学习笔记 (2.定量描述)

一、数学模型概述

控制系统的数学模型分为

• 控制系统的方框图与信号流图
• 拉普拉斯变换

二、方框图与信号流图

2.1 概述

2.1.1 方框图模型

• 方框图模型的基本概念
• 方框图化简技术
• 方框图化简例子

2.1.2 信号流图模型

• 信号流图模型的基本概念
• 方框图变换为信号流图
• 梅森增益公式

2.2 方框图

2.2.1 概念

方框图是指由单方向的功能框图所组成的一种图解模型，其中的方框表示了系统各元件所对应的传递函数。

• 信号线：信号传递的通道，信号只能沿箭头指向传递。
• 引出点或分支点：对信号进行引出或测量，同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。
• 相加点或比较点：对两个以上的信号进行加减运算。
• 方框：对信号进行数学变换。

2.2.2 案例

2.2.2.1 直流电机控制系统

2.2.2.2双输入双输出的控制系统

依据信号传递关系，可以得到如下一组线性关系：
Y1(s) = G11(s)R1(s) + G12(s)R2(s)
Y2(s) = G21(s)R1(s) + G22(s)R2(s)

2.2.3 方框图化简技术

2.2.3.1 引子

• Why: 分析一个比较复杂的控制系统，通常需要求解系统的等效传递函数，因此需要用到方框图化简技术。
• what: 方框图基本连接方式只有三种：串联、并联和反馈。
• 原则: 变换前后变量关系保持等效。

2.2.3.2 化简规则

若细分具体的化简实操规则，有如下8条

• ①方框串联
• ②方框并联
• ③反馈回路消除
• ④相加点后移
• ⑤引出点前移
• ⑥引出点后移
• ⑦相加点前移
• ⑧交换与合并

2.2.3.3 化简案例

例1 

最后，消除含有H3的回路，如图7所示

例2

最后，运用规则3消除反馈回路获得传递函数

例3

2.3 信号流图

2.3.1 概念

信号流图是由节点以及连接节点的支路构成的，是一组线性关系的图解表示。

• 信号流图由节点和支路构成
• 与方框图相比，信号流图更加简洁，便于绘制和应用
• 信号流图仅仅适用于线性系统，存在局限性；而方框图并无此局限。

图18所示的信号流图表示的一组线性关系为：

• Y1(s) = G11(s)R1(s) + G12(s)R2(s)
• Y2(s) = G21(s)R1(s) + G22(s)R2(s)

2.3.2 名词解释

• 节点：用以表示变量或信号的点，称为节点。
  • 节点可分为：输入节点（源节点）、输出节点（阱节点）和混合节点。
• 支路：联系两个节点，并标有信号流向和增益（传递函数）的定向线段，称为支路。
• 前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点最多只经过一次，最终到达输出节点的通路称之为前向通路。
  • 前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总增益。
• 回路：起点和终点在同一节点，除起点（或终点）外，与其他节点最多只经过一次的闭合通路，称为回路。
  • 回路中所有支路的乘积称为回路增益。
• 不接触回路：回路之间没有公共节点时，这些回路叫做不接触回路。
• 自回路：只含有一个节点的回路，叫做自回路。

2.3.3 信号流图说明

• 信号流图仅适用于线性系统。
• 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，相当于乘法因子。信号只能沿支路上的箭头指向传递。
• 在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号送到所有的输出支路。
• 对于混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路把它作为输出节点来处理。
• 对于一个给定的系统，信号流图不是唯一的。

2.3.4 方框图变换为信号流图

2.3.4.1 具体步骤

2.3.4.2 例

2.3.5 梅森增益公式

2.3.5.1 概念

2.3.5.2 应用

例1

例2

三、拉普拉斯变换

3.1 拉普拉斯变换定义

• 傅氏变换及拉氏变换意义(作用)：
  • (1)工程实践中求解微分方程的工具；
  • (2)建立系统复域频域模型的数学基础。

• 拉普拉斯变换定义

  • 时间函数f(t),当t<0时，f(t)=0;当t≥0时，f(t)的拉普拉斯变换记为L[f(t)]或F(s),定义如下

• 拉普拉斯变换解读

3.2 拉普拉斯变换性质

• (1)线性性：
  • 
• (2)微分定理：
  • 
• (3)积分定理：
  • 
• (4)初值定理：若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数f(t)的初值为
  • 
• (5)终值定理：
  • 
• (6)位移定理：
  • 
• (7)相似定理：
  • 
• (8)卷积定理：
  • 

3.3 拉普拉斯反变换

（1）当A（s）=0无重根时：

（2）当A（s）=0有重根时：