《Schwarz-Christoffel Mapping》笔记

Schwarz-Christoffel Mapping

本笔记不全，跳过了部分内容，并持续更新~

Chapter 1: Introduction

1.1 The Schwarz-Christoffel Idea

Schwarz-Christoffel变换背后的想法是，任何共形映射(conformal mapping)$f$都有导数：$f^{\prime }=\prod f_k$，其中$f_k$是一系列典型(canonical)函数。这个公式的重要性在于辐角$\arg f^{\prime }=\sum \arg f_k$。在classical变换中，所有$\arg f_k$都设计为一个阶跃函数，所以$\arg f^{\prime }$是一个带有特定阶跃的分段常数（如$f$将实轴映射到多边形上）。设$P$为多边形$\Gamma$包围的复平面，顶点为$w_1,\cdots ,w_n$，内角为${\alpha }_1\pi ,\cdots ,{\alpha }_n\pi$，其中${\alpha }_k\in (0,2)$。设共形映射$f$将上半平面$H^{+}$映射到$P$上，并设$z_k=f^{-1}(w_k)$是第$k$个prevertex。我们可以不失一般性地假设$z_n=\infty$，即实轴上的无穷映射到多边形最后一个顶点上，因为即使$\infty$还不是prevertex，我们也可以将其image设为一个新的内角为$\pi$的顶点。其余的prevertices $z_1,\cdots ,z_{n-1}$都是真的。

在线段$(z_k,z_{k+1})$之间，$f$是分析连续的，即$f^{\prime }$存在，且$\arg f^{\prime }$是常数并在$z_k$处有阶跃，即$[\arg f^{\prime }(z){]}_{z_k^{-}}^{z_k^{+}}=(1-{\alpha }_k)\pi ={\beta }_k\pi$，其中${\beta }_k\pi$是在第k个顶点处的转角。我们可以根据以上条件设定函数$f_k=(z-z_k{)}^{-{\beta }_k}$。下图示意了实轴经过$f_k$映射的结果。

定理1.1: 设P是多边形$\Gamma$的内部，顶点为$w_1,\cdots ,w_n$（逆时针），内角为${\alpha }_1\pi ,\cdots ,{\alpha }_n\pi$，定义$f$是将上半平面$H_{+}$变换到$P$的任意共形映射，且$f(\infty )=w_n$，则$$f(z)=A+C{\int }^z\prod _{k=1}^{n-1}(\zeta -z_k{)}^{a_k-1}d\zeta$$其中$A,C$都是复常数，且对于$k=1,\cdots ,n-1$都有$w_k=f(z_k)$。

以上公式可以用于映射不同的区域（如单位圆）、有branch points的区域、多连通区域、边界为圆弧的区域、甚至是边界分段解析的区域，在第四章中说明。

问题来了：我们不知道prevertices $z_k$是多少，那也就没法用定理1.1计算映射。从定理中可以发现，无论$z_k$是多少，多边形的内角都是不变的，这由$a_k$决定。也就是说，如果$z_k$选的不好，映射出来的多边形只是内角与目标多边形相同，而边长不同。$z_k$的确定称为Schwarz-Christoffel parameter problem，并且需要在使用SC方程之前求解。具体求解方法在第二章中讲述。

在应用中，$z_k$非线性地取决于多边形的边长，没有解析解，因此经常使用数值计算来计算定理1.1中的积分。数值问题在第三章中讨论。

1.2 历史

共形映射起源于19世纪。黎曼在1851年提出了黎曼映射定理，说复平面上任何单连通区域，只要不是整个复平面，就可以互相进行共形映射。Schwarz-Christoffel公式随后提出。

Christoffel在1867年于ETH Zurich发表了第一篇关于SC公式的论文，发现了在多边形域内，格林方程可以通过对半平面进行共形映射获得。随后他扩展到多边形外部与曲线区域。

Schwarz与1869年独立提出相同的理论，但侧重于数值和特定情境，如三角形；他甚至发表了首个SC映射的plot。论文中还包含了他的著名的反射原理：如果一个解析函数$f$被连续扩展到一个直线或圆弧边界，并将边界弧映射到另一个直线或者圆弧上，则$f$可以被解析地continued across the arc by reflection。

在SC公式发现的130年后，它在理论复分析中产生了巨大影响，用于证明黎曼映射定理与其推论。在计算机发明以后，SC公式用于具体应用。

在20世纪下半夜，有很多关于算法和程序的工作，但质量不高、综合性不强；很多重要问题都被忽视，如SC积分的快速计算，还有在解参数问题时prevertices的顺序。最综合的程序应当是Trefethen在1980年写的SCPACK和Driscoll在1996年发布的SC Toolbox。

Chapter 2: Essentials of Schwarz-Christoffel mapping

2.1 多边形

定义多边形$\Gamma$，顶点为$w_1,\cdots ,w_n$（逆时针），内角为${\alpha }_1\pi ,\cdots ,{\alpha }_n\pi$，并扩展定义$w_{n+1}=w_1$与$w_0=w_n$。

内角${\alpha }_k$的定义是从$w_k$的incoming边到outgoing边的扫过的角度。如果$|w_k|<\infty$，则${\alpha }_k\in (0,2]$。如果${\alpha }_k=2$，则两边重合，$w_k$是这个裂缝(slit)的尖尖。如果$w_k=\infty$，则${\alpha }_k\in [-2,0]$。如果$w_k$与其相邻顶点都是有限的，则指定${\alpha }_k$是冗余的，但如果不是，则就需要确定${\alpha }_k$来保证多边形唯一。

同时要求外角和为$2\pi$，即${\sum }_{k=1}^n{\alpha }_k$