学习笔记--博弈组合-SG函数

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博弈组合

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本文深入探讨了SG函数的概念，包括其定义、性质以及如何通过SG函数判断组合游戏的状态，是先手必胜局还是先手必败局。通过具体的实现代码，展示了如何计算SG函数值，并解释了其在游戏理论中的重要意义。

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SG函数是一种游戏图每个节点的评估函数
具体定义为:
这里写图片描述
mex（minimal excludant）是定义在整数集合上的操作。它的自变量是任意整数集合，函数值是不属于该集合的最小自然数。
即:mex{0,1,3,4}即为2;

所有的SG-组合游戏都存在相应的游戏图，我们完全可以根据游戏图的拓扑关系来逐一算出每一个状态点的SG函数（事实上我们只需要知道该状态点的SG函数值是否为0）。这样，我们就可以知道对于某一个状态，是先手必胜局还是先手必败局。

直接给出SG函数的性质：
（1）对于任意的局面，如果它的SG值为0，那么它的任何一个后继局面的SG值不为0；
（2）对于任意的局面，如果它的SG值不为0，那么它一定有一个后继局面的SG值为0。

事实上，每一个简单SG-组合游戏都可以完全等效成一堆数目为K的石子，其中K为该简单游戏的SG函数值。这样的等效是充要的。

一发非常神的论文:http://wenku.baidu.com/link?url=S06e9oS3bZRpJ5hj6unGyLmifPATckvtJfTHTyBLU1VVyudiOzeACYB5dwV8A0nOAZxPnFoZak18PBjQKakyB_N6-1CZEnlE4OpHP0wDtO3

具体的SG函数的实现:

//f[]：可以取走的石子个数
//sg[]:0~n的SG函数值
//hash[]:mex{}
int f[N],sg[N],hash[N];     
void getSG(int n)
{
    int i,j;
    memset(sg,0,sizeof(sg));
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        memset(hash,0,sizeof(hash));
        for(j=1;f[j]<=i;j++)
            hash[sg[i-f[j]]]=1;
        for(j=0;j<=n;j++)    //求mes{}中未出现的最小的非负整数
        {
            if(hash[j]==0)
            {
                sg[i]=j;
                break;
            }
        }
    }
}

DFS版:

//注意 S数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍
//n是集合s的大小 S[i]是定义的特殊取法规则的数组
int s[110],sg[10010],n;
int SG_dfs(int x)
{
    int i;
    if(sg[x]!=-1)
        return sg[x];
    bool vis[110];
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        if(x>=s[i])
        {
            SG_dfs(x-s[i]);
            vis[sg[x-s[i]]]=1;
        }
    }
    int e;
    for(i=0;;i++)
        if(!vis[i])
        {
            e=i;
            break;
        }
    return sg[x]=e;
}