博弈论游戏解析-优快云博客

【有一些东西不准确或者不对的还望各位大佬指正】

参考资料：

一、概念

首先要明确，我们在这所讨论的【博弈题】都是【组合游戏】，最后所讨论的sg函数的适用范围也是【组合游戏】。

组合游戏

定义：
在游戏中双方都有完整的信息，没有牵涉，任何状态的合法操作对双方来说都是相同的。

判定：（相比定义更详（luo）细（suo）一些）

满足以下条件的游戏是ICG（可能不太严谨）：1、有两名选手；2、两名选手交替对游戏进行移动(move)，每次一步，选手可以在（一般而言）有限的合法移动集合中任选一种进行移动；3、对于游戏的任何一种可能的局面，合法的移动集合只取决于这个局面本身，不取决于轮到哪名选手操作、以前的任何操作、骰子的点数或者其它什么因素； 4、如果轮到某名选手移动，且这个局面的合法的移动集合为空（也就是说此时无法进行移动），则这名选手负。根据这个定义，很多日常的游戏并非ICG。例如象棋就不满足条件3，因为红方只能移动红子，黑方只能移动黑子，合法的移动集合取决于轮到哪名选手操作。

表示：
组合游戏可以抽象地用一个有向无环图来表示，这个图中每个点都对应这一个状态，每条有向边代表从一个状态到另一个状态的合法操作
这里写图片描述
这有一道和此定义相关的题poj2425【不过poj最近好像挂了】
我的题解

状态定义

P点：必败点，换而言之，就是谁处于此位置，则在双方操作正确的情况下必败。因为前一个（previous）玩家将获胜，所以称作P。
N点：必胜点，处于此情况下，双方操作均正确的情况下必胜。
因为下一个（next）玩家将获胜，所以称作N。
这里写图片描述

二.三大博弈模型

巴什博弈：

内容：

只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。

结论：

如果n=（m+1）r+s（r为任意自然数，0< s≤m) 那么先取者获胜。
如果s=0 那么后取者获胜。

威佐夫博奕：

内容：

有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

结论：

必败点（P）：（ai，bi）
ai=[i*（1+√5）/2]（方括表示下取整），bi=ai+i
其余均为必胜点（N）

尼姆博奕：

内容：

有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

结论：(证明见后面sg函数的内容)

共n堆，每堆大小为a1,a2,……an
若a1^a2^a3……an=0 则为P-position（必败点）
其余情况为N-position（必胜点）

由此我们引出sg函数

三.sg函数

内容：

mex(minimal excludant)：施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于任意状态 x，定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。

对于单个nim游戏我们可以直接得出它们的sg值（比如轮流取一堆石子），但是是对于多个组合游戏呢？
在这里用SG表示多个组合游戏的SG和
SG=sg(a)^sg(b)^……
为什么可以子组合游戏sg的异或值就是SG的值呢？
蒟蒻我也不知道，但是这有一段证明【异或】求法是正确的引用

它是P-position当且仅当a1^a2^…^an=0，其中^表示异或（xor）运算
1、最后的状态，全为零，显然成立；
2、对于某个局面（a1，a2，…，an），若a1^a2^…^an<>0，一定存在某个合法的移动，将ai改变成ai’后满足a1^a2^…^ai’^…^an=0。不妨设a1^a2^…^an=k，则一定存在某个ai，它的二进制表示在k的最高位上是1（否则k的最高位那个1是怎么得到的）。
这时ai^k< ai一定成立。则我们可以将ai改变成ai’=ai^k，此时a1^a2^…^ai’^…^an=a1^a2^…^an^k=0。
3、对于某个局面（a1，a2，…，an），若a1^a2^…^an=0，一定不存在某个合法的移动，将ai改变成ai’后满足a1^a2^…^ai’^…^an=0。因为异或运算满足消去率，由a1^a2^…^an=a1^a2^…^ai’^…^an可以得到ai=ai’。所以将ai改变成ai’不是一个合法的移动。证毕。
通俗的说，如果异或的结果为0，那么改变任何一个数，显然结果肯定不能为0了，如果结果不为0，改变某个特定一个数，可以使结果等于0，而异或运算恰好就满足这个条件。因而成就了这个不可思议的定理。