博弈论SG函数学习笔记

一.公平组合游戏ICG.

公平组合游戏：指的是一类只有两个玩家的游戏，并且满足：
1.两个玩家交替行动.
2.在游戏进程的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关.
3.不能行动的玩家判负.

经典的公平组合游戏有NIM博弈和有向图游戏.


二.NIM博弈.

NIM博弈：给定$n$堆物品，第$i$堆物品有$A_i$个.两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆取走任意多个物品（可以取光但不能不取），取走最后一堆者胜.若两名玩家均采取最优策略，问是否先手必胜.

NIM博弈的胜负判定：先手必胜当且仅当$A_{1}xor{A}_{2}xor...xor{A}_n=/0$.

证明：
所有物品取光先手必败且$A_{1}xor{A}_{2}xor...xor{A}_n=0$.
对于任意局面，若$A_{1}xor{A}_{2}xor...xor{A}_n=x\ne 0$，设$x$二进制下最高位的$1$在第$k$位，则必然有一堆石子$A_i$的最高为$1$二进制位是第$k$位.这个时候便可以在第$i$堆中取走若干石子使得$A_{1}xor{A}_{2}xor...xor{A}_n=0$.
反过来，若$A_{1}xor{A}_{2}xor...xor{A}_n=0$，则无论如何取石子，必然会使得之后的异或和不为$0$.
证毕.


三.有向图游戏.

有向图游戏：给定一个有向无环图，图中有唯一一个起点.从起点出发，两名玩家轮流行动，每次行动可以往任意一条出边移动.若某个玩家无法移动，则判负.

任意一个公平组合游戏可以转化为有向图游戏，即把每一个局面都看成一个节点，一个局面可以到达另一个局面就在这两个局面之间连一条有向边.


四.SG函数.

mex函数：$\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{x}(S)$表示取一个最小的自然数，使得这个自然数不在集合$S$中.即：
mex(S)=min⁡x∈N+,x∉S{x} \mathrm{mex}(S)=\min_{x\in N_+,x\notin S}\{x\} mex(S)=x∈N+​,x∈/​Smin​{x}

SG函数：在有向图游戏中，设点$x$有$k$条出边，分别到达$y_1,y_2,...,y_k$，那么：
SG(x)=mex({SG(y1),SG(y2),...,SG(yk)}) SG(x)=\mathrm{mex}(\{SG(y_1),SG(y_2),...,SG(y_k)\}) SG(x)=mex({SG(y1​),SG(y2​),...,SG(yk​)})

特别的，设一个有向图游戏$G$的起点为$s$，那么$G$的SG函数值为$SG(s)$，即$SG(G)=SG(s)$.

有向图游戏和：给定$n$个有向图游戏$G_1,G_2,...,G_n$，称$G$为有向图游戏和表示$G$的移动规则为每次在任意一个$G_i$上移动一步，判负规则为在任意$G_i$上都不能移动.

$SG(G)=SG(G_1)xorSG(G_2)xor...xorSG(G_n)$

定理：游戏的一个点$x$必胜当且仅当$SG(x)>0$，一个点$x$必败当且仅当$SG(x)=0$.

证明与NIM博弈的胜负规则判定证明类似，不再赘述.