kalman filter 卡尔曼滤波 公式推导

博客介绍了线性时不变系统,引出卡尔曼滤波。它是递归估计,只需上一时刻状态估计值和当前观测值就能计算当前状态估计值,是时域滤波器。其状态由状态估计和后验估计误差协方差矩阵表示,操作包括预测与更新两个阶段。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

#Kalman filter
一个线性时不变系统如下:
xk+1=Axk+Buk+wkyk=Cxk+vk x_{k+1} = Ax_k+Bu_k+w_k\\ y_k = Cx_k+v_k xk+1=Axk+Buk+wkyk=Cxk+vk
其中,wkw_kwk是process noise, wk∈Rnw_k\in\mathbb{R}^nwkRn, wk∼N(0,Q)w_k\sim \mathcal{N}(0, Q)wkN(0,Q), vkv_kvk是mearsurement , vk∼Rmv_k\sim\mathbb{R}^{m}vkRm vk∈N(0,R)v_k\in\mathcal{N}(0,R)vkN(0,R), A,B,CA,B,CA,B,C分别为系统参数,xk+1x_{k+1}xk+1代表 k+1k+1k+1 时刻状态变量的值,yky_kyk表示 kkk 时刻测量值。

以下内容参考维基百科:
卡尔曼滤波是一种递归的估计,即只要获知上一时刻状态的估计值以及当前状态的观测值就可以计算出当前状态的估计值,因此不需要记录观测或者估计的历史信息。卡尔曼滤波器与大多数滤波器不同之处,在于它是一种纯粹的时域滤波器,它不需要像低通滤波器等频域滤波器那样,需要在频域设计再转换到时域实现。

卡尔曼滤波器的状态由以下两个变量表示:
$\hat x_{k|k} $,在时刻k的状态的估计;
Pk∣k{\textbf {P}}_{k|k}Pkk,后验估计误差协方差矩阵,度量估计值的精确程度。

卡尔曼滤波器的操作包括两个阶段:预测与更新。在预测阶段,滤波器使用上一状态的估计,做出对当前状态的估计。在更新阶段,滤波器利用对当前状态的观测值优化在预测阶段获得的预测值,以获得一个更精确的新估计值。

首先定义几个接下来需要用的的变量。
Pk∣k=cov(xk−x^k∣k){\textbf {P}}_{k|k} = cov(x_k-\hat x_{k|k})Pkk=cov(xkx^kk)
Pk∣k=cov(xk−x^k∣k−1){\textbf {P}}_{k|k} = cov(x_k-\hat x_{k|k-1})Pkk=cov(xkx^kk1)
Sk=cov(yk−Cx^k∣k−1){\textbf {S}}_{k} = cov(y_{k}-C\hat x_{k|k-1})Sk=cov(ykCx^kk1)

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

卡尔曼滤波器是一种用于估计系统状态的数学算法。根据引用和引用提供的参考视频,可以推导卡尔曼滤波器的公式卡尔曼滤波器的五个公式包括: 1. 预测状态更新公式:用于根据系统的状态方程和过程噪声来预测系统的状态。 2. 预测误差协方差更新公式:用于根据系统的协方差矩阵、状态转移矩阵和过程噪声协方差矩阵来更新预测误差协方差。 3. 修正观测更新公式:用于根据观测方程和观测噪声来修正预测的状态值。 4. 修正误差协方差更新公式:用于根据观测方程、预测误差协方差和观测噪声协方差来更新修正后的误差协方差。 5. 卡尔曼增益公式:用于根据预测误差协方差和观测噪声协方差来计算卡尔曼增益,该增益决定了预测值和观测值在估计中的权重。 参考和提供的视频可以帮助你更详细地了解这些公式的数学推导过程。此外,引用中的GitHub项目提供了一个使用卡尔曼滤波器进行多目标跟踪的实例,可以进一步帮助你理解卡尔曼滤波器的应用。<span class="em">1</span><span class="em">2</span><span class="em">3</span> #### 引用[.reference_title] - *1* *2* *3* [Kalman Filter卡尔曼滤波公式推导和视频行人跟踪应用](https://blog.youkuaiyun.com/Ybc_csdn/article/details/124409364)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_1"}}] [.reference_item style="max-width: 100%"] [ .reference_list ]
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值