奇异值分解

以下内容来自刘建平Pinard-博客园的学习笔记。

奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，不仅可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。本文就对SVD的原理做一个总结，并讨论在在PCA降维算法中是如何运用运用SVD的。

1. 回顾特征值和特征向量

首先回顾下特征值和特征向量的定义如下：
$$Aw=\lambda w,$$其中$A$ 是一个 $n\times n$ 矩阵， $w$ 是一个 $n$ 维向量，则 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值，而 $w$ 是矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda$ 所对应的特征向量。

求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值 ${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \cdots \le {\lambda }_n$，以及这 $n$ 个特征值所对应的特征向量$w_1,w_2,\dots ,w_n$，那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：
$$A=W\Sigma W^{-1},$$其中 $W$ 是这 $n$ 个特征向量所张成的n×n维矩阵，而 $\Sigma$ 是这 $n$ 个特征值为主对角线的 $n\times n$ 维矩阵。

一般我们会把 $W$ 的这 $n$ 个特征向量标准化，即满足 $\Vert w_i{\Vert }_2=1$ ，或者 $w_i^T{w}_i=1$ ，此时 $W$ 的$n$个特征向量为标准正交基，满足 $W^{T}W=I$，即 $W=W^{-1}$ ，也就是说 $W$ 为酉矩阵。

这样我们的特征分解表达式可以写成
$$A=W\Sigma W^T。$$注意到要进行特征分解，矩阵 $A$ 必须为方阵。那么如果 $A$ 不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们就需要用到SVD。

2. SVD的定义

SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵 $A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，那么我们定义矩阵 $A$ 的SVD为：$$A=U\Sigma V^T,$$其中 $U\in R^{m\times m}$，$\Sigma \in R^{m\times n}$, $V\in R^{n\times n}$, $\Sigma$ 除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值。$U$ 和 $V$ 都是酉矩阵，即满足 $U^{T}U=I$， $V^{T}V=I$。下图可以很形象的看出上面SVD的定义：

那么我们如何求出SVD分解后的 $U,\Sigma ,V$ 这三个矩阵呢？

如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到n×n的一个方阵$A^{T}A$ 。既然 $A^{T}A$ 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：$$(A^{T}A)v_i=\lambda v_i,$$这样我们就可以得到矩阵 $A^{T}A$ 的n个特征值和对应的n个特征向量v了。将 $A^{T}A$ 的所有特征向量张成一个n×n的矩阵V，就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。

如果我们将A和A的转置做矩阵乘法，那么会得到m×m的一个方阵 $A{A}^T$。既然 $A{A}^T$ 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：$$(A{A}^T)v_i=\lambda u_i,$$

这样我们就可以得到矩阵 $A{A}^T$ 的m个特征值和对应的m个特征向量u了。将 $A{A}^T$ 的所有特征向量张成一个m×m的矩阵U，就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。

U和V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵Σ没有求出了.

由于Σ除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值σ就可以了。

我们注意到: $$A=U\Sigma V^T\to AV=U\Sigma V^{T}V\to AV=U\Sigma \to A{v}_i={\sigma }_i{u}_i\to {\sigma }_i=\frac{A{v}_i}{u_i},$$这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵Σ。

上面还有一个问题没有讲，就是我们说 $A^{T}A$ 的特征向量组成的就是我们SVD中的V矩阵，而$A{A}^T$ 的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以V矩阵的证明为例。
$$A=U\Sigma V^T\to A^T=V\Sigma U^T\to A^{T}A=V\Sigma U^{T}U\Sigma V^T=V{\Sigma }^2{V}^T.$$可以看出 $A^{T}A$ 的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到 $A{A}^T$ 的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。

进一步我们还可以看出$A^{T}A$的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：$${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i},$$也就是说，我们可以不用 ${\sigma }_i=\frac{A{v}_i}{u_i}$ 来计算奇异值，也可以通过求出 $A^{T}A$ 的特征值取平方根来求奇异值。

3. SVD计算举例
   这里我们用下面的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为：
   首先求出 $A^{T}A$ 和 $A{A}^T$
   
   进而求出 $A^{T}A$ 和 $A{A}^T$ 的特征值和特征向量：
   
   
   利用 ${\sigma }_i=\frac{A{v}_i}{u_i}$ 求奇异值：
   
   也可以用 ${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i},$ 直接求出奇异值为 $\sqrt{3}$ 和 $1$.

最终得到A的奇异值分解为：

4. SVD的一些性质

对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。

也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。

也就是说：

其中k要比n小很多，也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵 $U_{m\times k},{\Sigma }_{k\times k},V_{k\times n}$ 来表示。如下图所示，现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。

由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。

下面我们就对SVD用于PCA降维做一个介绍。

5. SVD用于PCA

PCA降维，需要找到样本协方差矩阵 $X^{T}X$ 的最大的 $d$ 个特征向量，然后用这最大的 $d$ 个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵 $X^{T}X$ ，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。

注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵 $X^{T}X$ 最大的 $d$ 个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵 $X^{T}X$ ，也能求出我们的右奇异矩阵V。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们我们认为的暴力特征分解。

另一方面，注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？

假设我们的样本是 $m\times n$ 的矩阵 $X$ ，如果我们通过SVD找到了矩阵 $X{X}^T$ 最大的 $d$ 个特征向量张成的 $m\times d$ 维矩阵 $U$，则我们如果进行如下处理：
可以得到一个 $d\times n$ 的矩阵 $X^{\prime }$，这个矩阵和我们原来的 $m\times n$ 维样本矩阵 $X$ 相比，行数从 $m$ 减到了 $k$，可见对行数进行了压缩。

左奇异矩阵可以用于行数的压缩。
右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。

6. SVD小结

SVD作为一个很基本的算法，在很多机器学习算法中都有它的身影，特别是在现在的大数据时代，由于SVD可以实现并行化，因此更是大展身手。

SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强，有点黑盒子的味道，不过这不影响它的使用。

本内容来自 奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用 。