LeetCode刷题|368最大整除子集（动态规划）

最新推荐文章于 2021-10-29 20:56:20 发布

原创最新推荐文章于 2021-10-29 20:56:20 发布 · 252 阅读

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#数据结构 #算法 #leetcode #动态规划 #python

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本文探讨了一道动态规划题目——最大整除子集。通过举例说明暴力枚举方法的不足，并详细解释了如何利用动态规划来解决这个问题。首先对数组进行排序，然后定义dp数组记录每个元素在序列中的位置。通过遍历数组，找到能够被前面元素整除的情况，并更新dp数组。最后，根据dp数组回溯得到最长的整除子集。

今天的每日一题还是一个动态规划题目。

题目描述

在这里插入图片描述
题目地址：最大整除子集

动态规划

如果考虑暴力法的话这道题应该怎么做呢，最简单的能想到的方法就是枚举每一个元素作为开头，然后遍历其他元素。但是这种方法并不可靠，可以举个例子看一下：
$[9, 18, 54, 90, 108, 180, 360, 540, 720]$ 这样一个数组，从9开始的话会得到 $[9, 18, 54, 108, 540]$ ，但是实际上还有更长的结果 $[9, 18, 90, 180, 360, 720]$ ，而题目要求我们返回最长的结果，这种方法显然是不行的。
下面来开始考虑如何使用动态规划解决这个问题。这个问题是一个序列DP问题，每一个状态都依赖于与前一个状态的关系，也就是说，当前元素nums[i]能否接在nums[j]后面，取决于nums[i] % nums[j]结果是否为0。了解了这一点，那么我们定义数组dp[]，dp[i]表示当前元素是所在序列的第几个位置。还是举个例子：

nums	2	4	7	8	9	12	16	20
dp	1	2	1	3	1	3	4	3

定义了dp之后，要怎么求得dp[i]呢。首先我们得把数组按从小到大排个序，因为要使得nums[i] % nums[j]等于0，nums[i]就一定要比nums[j]大才行。然后依次与i前面的数进行%运算，如果运算结果为0，那么dp[i]就等于dp[j]+1，也就是在位置j的元素后面一位。但是由于前面不止一个元素，所以需要更新dp[i]，选出最大的dp[i]。
得到dp数组结果，也就是上面表格的结果之后，我们根据表格内容倒着遍历一遍把最长的一个串取出来就可以了。

class Solution:
    def largestDivisibleSubset(self, nums: List[int]) -> List[int]:
        n = len(nums)
        nums.sort()
        dp = [1] * n
        maxSize = 1
        maxVal = dp[0]
        for i in range(1,n):
            for j in range(i):
                if nums[i] % nums[j] == 0:
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1) 
            if dp[i] > maxSize:
                maxSize = dp[i]
                maxVal = nums[i]
        
        res = []
        if maxSize==1:return [nums[0]]
        k = n-1
        while k >= 0:
            if dp[k] == maxSize and maxVal % nums[k] == 0:
                res.append(nums[k])
                maxVal = nums[k]
                maxSize = maxSize-1
            k = k-1
        return res

maxSize的作用是记录下最长序列的长度，在最后得到结果数组时每加入一个元素maxSize就减一。maxVal记录的是最大序列的最大的值，因为最后得到结果的时候可能会出现dp数组多个位置都是同一个数，这时候就需要用maxVal进行%运算，结果为0才是这一结果序列的元素。
最后，因为是倒着遍历，所以最后返回的结果是倒序的。