LeetCode刷题总结（九）29 - 31 -- 二进制倍增，位运算，滑动窗口

（一）LeetCode29：两数相除

暴力做法是循环 x -= y，x为被除数，y为除数，减到 x 小于 y 为止，每减一次计数变量 ++，最后输出计数变量。
然而以上这种做法显然是会超时的！！！
高级解法是二进制移位倍增，其实这也是计算机实现除法的本质。二进制倍增的意思就是暴力的做法让y一个一个地增太慢了，每次应该大一点地向x逼近，那么怎么确定这个大呢？
我们可以，以y为基数，并定义一个数组，在小于x的情况，y倍增一倍后存入该数组，循环，直到该数大于x。这时我们每次在向x逼近的时候就可以从上面那个数组中最大的数向x逼近，逼近成功（逼近的数小于x），那么商就加上 2的该数在数组中索引的次方（为什么是2？因为y在倍增准备的时候是一次增加一倍的）即可。

第一种代码实现：使用long long

但现在lc已经规定假设只有int这一数据类型，所以这一解法是不成立的，但二进制的基本思路还是不变的。

实现的时候有两个难点：

1、 怎么产生倍增数组


2、不用乘法，商怎么加上 2的索引次方（这里使用了位运算，1 << i 的意义就是将1在二进制上向左移位 i 格，新移出的部分都会0，比如：1 << 3，实际上在二进制中就是0001 —> 1000，变为了2^3。从上面的例子可以看出对1做左移位，向左移动几位后其值就正好是2的 几次方）

若想进一步了解“位运算”，可以参考文章：
c++位运算中最常用的两种操作

【注】这里由于可能会出现溢出，即如果i==31时，2^31就已经超出了int的数据范围了，所以在1后面加上了 ll (long long)防止溢出。这是c++11中的新特性，将ll或LL加在某个数字的后面，可以将其提升为long long类型，也可以防止在后面的计算中溢出！！！

代码示例：

class Solution {
   
public:
    int divide(int x, int y) {
   
       typedef long long LL; // type + def : 由于long long写起来比较长，所以可以重新定义一下。定义的时候你可以读作：type long long def LL，这样更好记忆，long long要放在前面，LL 要放在后面
       vector<LL> exp; // 用于存二进制倍增数组
       bool is_minus = false;
       if(x < 0 && y > 0 || x > 0 && y < 0) is_minus = true;

       LL a = labs((LL)x), b = labs((LL)y); // x可能是-2^31，除以一个正数可能就溢出了（但现在题目规定了不能用long long，假设只有int存）

       // 现在开始生成二进制倍增的前提，在小于a的前提下，每次都倍增一次
       // 到时候减的时候，从大向小减
       for(LL i = b; i <= a; i = i + i) exp.push_back(i); // 注意存入方式是push_back，注意是可以取到等于a的，最好的情况就是和a相等，这样就能够整除了

       LL res = 0;
       for(int i = exp.size() - 1; i >= 0; i --) {
    // 从大往小去减
           while(a >= exp[i]) {
    // 这里while的时间复杂度为O(1)，因为只会执行一次，其实这里用if也行，只是while更好理解
               a -= exp[i];
               // 下面是关键代码：如何获取exp[i]对应多少商？
               res += 1ll << i; // 为什么加上2的i次方，因为假设上面条件成立，那么x时减去了2个i次方的y成立，商则是要加上2的i次方
               // 2的i次方注意会溢出，不过这里防止溢出的方式还是很难理解
           }