bzoj 1010 HNOI2008 玩具装箱toy 斜率优化+DP

最新推荐文章于 2018-06-10 20:50:00 发布

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本文讨论了玩具装箱问题的优化算法，详细解释了如何通过斜率优化+动态规划来解决此问题，并提供了代码实现。文章还强调了算法优化的重要性，包括通过维护单调队列来确保斜率之间的递减关系，以及对特定参数的处理细节。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

bzoj 1010 玩具装箱toy

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Description

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

暴力过不了.......

于是斜率优化+dp

首先预处理：

sum[i]+=sum[i-1]+1;

l--;

dp[i]=min(dp[i],dp[j]+(sum[i]-sum[j]-l)^2

假设对于dp[i] 决策j比决策k好(j<k)

即 dp[j]+(sum[i]-sum[j]-l)^2<dp[k]+(sum[i]-sum[k]-l)^2;

dp[j]+sum[i]^2-2*sum[i]*sum[j]+sum[j]^2-2*sum[i]*l+2*sum[j]*l<dp[k]+sum[i]^2-2*sum[i]*sum[k]+sum[k]^2-2*sum[i]*l+2*sum[k]*l;

移项得：

dp[j]-dp[k]+sum[j]^2-sum[k]^2+2*(sum[j]*l-sum[k]*l)s<2*sum[i](sum[j]-sum[k])

dp[j]-dp[k]+sum[j]^2-sum[k]^2<2*sum[i](sum[j]-sum[k])-2*(sum[j]*l-sum[k]*l)

设yj=dp[j]+sum[j]^2+2*l*sum[j],xj=2*sum[j];

即(yj-yk)/(xj-xk)>sum[i];

注意：此结论前提是：对于dp[i] 决策j比决策k好(j<k)

所以设g(j,k)=(yj-yk)/(xj-xk)

若g(j,k)<sum[i], 则j 决策比k好

设 m<k<j

若g(j,k)<g(k,m) 则k一定不属于最优解集,可以直接删去

为什么？

若g(j,k)<sum[i],说明j比k要好；

若g(j,k)>=sum[i],那么此时j就更优,但g(k,m)>g(j,k)>sum[i]说明有m比k优,所以排除k;

通过以上优化，斜率之间就是递减关系，呈现上凸；

对于这道题，总结一下，我们可以这样：

用一个单调队列维护解集
假设队列中从左往右已有a,b,c，那么d入队时，我们维护斜率上凸性质，即若g(d,c)<g(c,b)就删去c,直到g(d,x)>=g(x,y)(y为x前一个元素)为止
求解时，从前往后a,b,c，若g(b,a)<sum[i],则b比a更好，就删去a;
最后dp[i]更新；

坑我半天的是l要加1.......具体为什么：自己想.......

注意Ci,要用long long

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define MAXN 51000
using namespace std;
long long n,l,head,tail;
long long dp[MAXN],sum[MAXN],q[MAXN];
long long getdp(long long i,long long j)
{
   return dp[j]+(sum[i]-sum[j]-l)*(sum[i]-sum[j]-l);
}
long long getup(long long i,long long j)
{
       return dp[i]+sum[i]*sum[i]-dp[j]-sum[j]*sum[j]+2*l*(sum[i]-sum[j]);
}
long long getdown(long long i,long long j)
{
     return 2*(sum[i]-sum[j]);

}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&l);
    for(long long i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&sum[i]);

    }

    for(long long i=1;i<=n;i++)
       sum[i]+=sum[i-1]+1;
     q[tail++]=0;l++;
        for(long long i=1;i<=n;i++)
        {

            while(head+1<tail && getup(q[head+1],q[head])<=sum[i]*getdown(q[head+1],q[head]))
                head++;
            dp[i]=getdp(i,q[head]);
            //cout<<endl<<q[head]<<"                "<<dp[i]<<endl<<endl;
            while(head+1<tail && getup(i,q[tail-1])*getdown(q[tail-1],q[tail-2])<=getup(q[tail-1],q[tail-2])*getdown(i,q[tail-1]))
                tail--;
            q[tail++]=i;
        }
     printf("%lld",dp[n]);
     return 0;
}