扩展欧几里德

                                                 扩展欧几里德

      

   扩展欧几里德是解形如的一种算法。

  1.利用欧几里德算法(更相减损术)得出gcd(x,y)。

   比如求gcd(21,175)

                   175%21=7;

                   21%7=0;

   所以gcd(21,175)=7;

int gcd(int a,int b)//欧几里德求gcd(a,b)
{
     if(b==0)
        return a;
     else
     {
          int c=a;
          a=b;
          b=b%c;
          return gcd(a,b);
     }
}

对于高精度gcd()可以有个优化：

假定a>b ：

gcd(a,b)=gcd(a/2,b)       if(a%2==0&&b&1)

             =gcd(a,b/2)       if(b%2==0&&a&1)

             =2gcd(a/2,b/2)  if(!(a&1)&&!(b&1))

             =gcd(b,a-b)      else 

 2. 扩展欧几里德基本算法：

    对于两个不完全为0的非负整数a,b，必然存在x,y使得  gcd(a,b)=ax+by

证明：

     1.b=0 时，显然成立（x=1）

     2.b!=0 时，设a>b

        ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

       这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　   上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//扩展欧几里德
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}