微带阻抗匹配网络（一）

微波传输线

电路理论和传输线理论之间的关键差别是电尺寸。电路理论中，由于电路尺寸远小于其工作波长，因此在电路分析中不考虑信号在传输过程中电压、电流幅度和相位的变化。而在微波下工作的传输线，其几何长度$l$与工作波长$\lambda$在同一数量级。

长线理论

通过定义电长度，对传输线进行分类：
$$电长度=\frac{l}{\lambda }$$
当传输线长度大于信号波长的十分之一，即电长度$\frac{l}{\lambda }>0.1$时，传输线就应该被视为长线处理。此时，传输线上的电压和电流不仅与时间有关，也与位置有关。如下图所示：

微带线属于微波传输线的一种，是准TEM波传输线。

传输线的分布参数

对于长线来说，同一时刻传输线上不同位置的电压、电流幅度和相位相差很大，就必须考虑传输线的分布参数。
传输线的分布参数主要有：

1. 由传输线导体自身电阻以及趋肤效应产生的分布电阻$R$。
2. 由传输线相邻两个导体之间绝缘介质的漏电流而产生的并联电阻，用电导$G$表示。
3. 传输线相邻两导体之间存在的寄生电容$C$。
4. 传输线自感产生的分布电感$L$。
   

电报方程及其求解

假设传输线分布参数均匀不变，即一条均匀传输线。如果在线上任取一段线元$dz$，且满足$dz\ll \lambda$，则可以将其视作集总参数电路，等效网络如下图所示。

列出电报方程

基尔霍夫电压定律

$$v(z,t)-i(z,t)R_{0}dz-(L_{0}dz)\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}-v(z+dz,t)=0$$

基尔霍夫电流定律

$$i(z,t)-(G_{0}dz)v(z+dz,t)-(C_{0}dz)\frac{\partial v(z+dz,t)}{\partial t}-i(z+dz,t)=0$$

近似与化简

当$z$很小时，电压和电流的增量可以用微分表示，即：

$$\{\begin{array}{l}v(z+dz,t)=v(z,t)+\frac{\partial v(z,t)}{\partial z}dz\\ i(z+dz,t)=i(z,t)+\frac{\partial i(z,t)}{\partial z}dz\end{array}$$

带入基尔霍夫电压等式

$$\{\begin{array}{l}v(z,t)-i(z,t)R_{0}dz-(L_{0}dz)\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}-v(z+dz,t)=0\\ v(z+dz,t)=v(z,t)+\frac{\partial v(z,t)}{\partial z}dz\end{array}$$

$$\Rightarrow v(z,t)-(R_{0}dz)i(z,t)-(L_{0}dz)\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}-v(z,t)-\frac{\partial v(z,t)}{\partial z}dz=0$$
$$\Rightarrow \frac{\partial v(z,t)}{\partial z}dz+(L_{0}dz)\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}+(R_{0}dz)i(z,t)=0$$
$$\Rightarrow \frac{\partial v(z,t)}{\partial z}+L_0\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}+R_{0}i(z,t)=0$$

带入基尔霍夫电流等式

$$\{\begin{array}{l}i(z,t)=i(z+dz,t)-\frac{\partial i(z,t)}{\partial z}dz\\ i(z,t)-(G_{0}dz)v(z+dz,t)-(C_{0}dz)\frac{\partial v(z+dz,t)}{\partial t}-i(z+dz,t)=0\end{array}$$
$$\Rightarrow \frac{\partial i(z,t)}{\partial z}dz+(G_{0}dz)v(z+dz,t)+(C_{0}dz)\frac{\partial v(z+dz,t)}{\partial t}=0$$
$$\Rightarrow \frac{\partial i(z,t)}{\partial z}+G_{0}v(z,t)+C_0\frac{\partial v(z,t)}{\partial t}=0$$

传输线方程（电报方程）

将上节中得到的两个微分方程联立即可得到传输线方程。
$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial v(z,t)}{\partial z}+L_0\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}+R_{0}i(z,t)=0\\ \frac{\partial i(z,t)}{\partial z}+G_{0}v(z,t)+C_0\frac{\partial v(z,t)}{\partial t}=0\end{array}$$
$$\Downarrow$$
$$\{\begin{array}{l}-\frac{\partial v(z,t)}{\partial z}=L_0\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}+R_{0}i(z,t)\\ -\frac{\partial i(z,t)}{\partial z}=C_0\frac{\partial v(z,t)}{\partial t}+G_{0}v(z,t)\end{array}$$
如果$v$和$i$都是简谐波，则可以表示成：
$$\{\begin{array}{l}v(z,t)=Re[V(z)e^{j\omega t}]\\ i(z,t)=Re[I(z)e^{j\omega t}]\end{array}$$
将上述形式带入到传输线方程中：
$$\{\begin{array}{l}-\frac{\partial (V(z)e^{j\omega t})}{\partial z}=L_0\frac{\partial (I(z)e^{j\omega t})}{\partial t}+R_{0}I(z)e^{j\omega t}\\ -\frac{\partial (I(z)e^{j\omega t})}{\partial z}=C_0\frac{\partial (V(z)e^{j\omega t})}{\partial t}+G_{0}V(z)e^{j\omega t}\end{array}$$
$$\Downarrow$$
$$\{\begin{array}{l}-\frac{\partial V(z)}{\partial z}{e}^{j\omega t}=L_{0}j\omega I(z)e^{j\omega t}+R_{0}I(z)e^j\omega t\\ -\frac{\partial I(z)}{\partial z}{e}^{j\omega t}=C_{0}j\omega V(z)e^{j\omega t}+G_{0}V(z)e^{j\omega t}\end{array}$$
$$\Downarrow$$
$$\{\begin{array}{l}-\frac{\partial V(z)}{\partial z}=I(z)(j\omega L_0+R_0)\\ -\frac{\partial I(z)}{\partial z}=V(z)(j\omega C_0+G_0)\end{array}$$
我们可以发现，传输线方程组等式右侧括号中的部分，分别是传输线水平方向的串联阻抗和垂直方向的并联导纳。

令：
$$\{\begin{array}{l}Z=R_0+j\omega L_0\\ Y=G_0+j\omega C_0\end{array}$$
则有：
$$\{\begin{array}{l}-\frac{\partial V(z)}{\partial z}=ZI(z)\\ -\frac{\partial I(z)}{\partial z}=YV(z)\end{array}$$
对上面两等式的等号两侧分别微分，得到：
$$\{\begin{array}{l}-\frac{{\partial }^{2}V(z)}{\partial z^2}=Z\frac{\partial I(z)}{\partial z}\\ -\frac{{\partial }^{2}I(z)}{\partial z^2}=Y\frac{\partial V(z)}{\partial z}\end{array}$$
联立传输线方程与其微分结果，得到：
$$\{\begin{array}{l}-\frac{\partial V(z)}{\partial z}=ZI(z)\\ -\frac{\partial V(z)}{\partial z}=\frac{1}{Y}\frac{{\partial }^{2}I(z)}{\partial z^2}\\ \\ -\frac{\partial I(z)}{\partial z}=YV(z)\\ -\frac{\partial I(z)}{\partial z}=\frac{1}{Z}\frac{{\partial }^{2}V(z)}{\partial z^2}\end{array}$$
$$\Downarrow$$
$$\{\begin{array}{l}\frac{1}{Y}\frac{{\partial }^{2}I(z)}{\partial z^2}=ZI(z)\\ \frac{1}{Z}\frac{{\partial }^{2}V(z)}{\partial z^2}=YV(z)\end{array}$$
$$\Downarrow$$
$$\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}I(z)}{\partial z^2}-(YZ)I(z)=0\\ \frac{{\partial }^{2}V(z)}{\partial z^2}-(YZ)V(z)=0\end{array}$$
令：
$$\gamma =\sqrt{ZY}=\sqrt{(R_0+j\omega L_0)(G_0+j\omega C_0)}=\alpha +j\beta$$
上式中$\gamma$定义为传输线的传播常数，$\alpha$为衰减常数，$\beta$为相位常数。
因此传输线方程可表示为：
$$\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}I(z)}{\partial z^2}-{\gamma }^{2}I(z)=0\\ \frac{{\partial }^{2}V(z)}{\partial z^2}-{\gamma }^{2}V(z)=0\end{array}$$

传输线方程的通解

观察二阶微分方程
$$\begin{gathered} x^2-{\gamma }^2=0 \\ \Rightarrow x=\pm \gamma \end{gathered}$$
传输线方程的通解：
$$\{\begin{array}{l}V(z)=V_0^{+}{e}^{-\gamma z}+V_0^{-}{e}^{\gamma z}\\ I(z)=I_0^{+}{e}^{-\gamma z}+I_0^{-}{e}^{\gamma z}\end{array}$$
式中，$V_0^{+},V_0^{-},I_0^{+},I_0^{-}$均为待定参数。由上文提及的传输线方程的一种表示形式：
$$\{\begin{array}{l}-\frac{\partial V(z)}{\partial z}=ZI(z)\Rightarrow I(z)=-\frac{1}{Z}\frac{\partial V(z)}{\partial z}\\ -\frac{\partial I(z)}{\partial z}=YV(z)\end{array}$$
可将传输线方程的电流通解可以统一为电压通解表示：
$$\begin{gathered} I(z)=-\frac{1}{Z}\frac{\partial (V_0^{+}{e}^{-\gamma z}+V_0^{-}{e}^{\gamma z})}{\partial z} \\ =-\frac{1}{Z}(-\gamma V_0^{+}{e}^{-\gamma z}+\gamma V_0^{-}{e}^{\gamma z}) \\ =\frac{\gamma }{Z}(V_0^{+}{e}^{-\gamma z}-V_0^{-}{e}^{\gamma z}) \\ =\sqrt{\frac{Y}{Z}}(V_0^{+}{e}^{-\gamma z}-V_0^{-}{e}^{\gamma z}) \end{gathered}$$

定义传输线的特征阻抗$Z_0$：当传输线没有反射（匹配）时，入射波电压与入射波电流之比（行波电压与行波电流之比）。
$$Z_0=\sqrt{\frac{Z}{Y}}=\sqrt{\frac{R_0+j\omega L_0}{G_0+j\omega C_0}}$$
因此，传输线方程的通解可以表示为：
$$\{\begin{array}{l}V(z)=V_0^{+}{e}^{-\gamma z}+V_0^{-}{e}^{\gamma z}\\ I(z)=\frac{1}{Z_0}(V_0^{+}{e}^{-\gamma z}-V_0^{-}{e}^{\gamma z})\end{array}$$

低耗传输线

实际情况下，传输线的损耗是非常小的，传播常数可做如下近似：
$$\begin{gathered} \gamma =\sqrt{(R_0+j\omega L_0)(G_0+j\omega C_0)} \\ =\sqrt{(j\omega L_0)(j\omega C_0)(\frac{R_0}{j\omega L_0}+1)(\frac{G_0}{j\omega C_0}+1)} \\ =j\omega \sqrt{L_0{C}_0}\sqrt{-\frac{R_0{G}_0}{{\omega }^2{L}_0{C}_0}+\frac{R_0}{j\omega L_0}+\frac{G_0}{j\omega C_0}+1} \\ =j\omega \sqrt{L_0{C}_0}\sqrt{1-\frac{R_0{G}_0}{{\omega }^2{L}_0{C}_0}-j(\frac{R_0}{\omega L_0}+\frac{G_0}{\omega C_0})} \end{gathered}$$
低耗传输线由导体本身和绝缘介质产生的损耗很小，满足：
$$\{\begin{array}{l}{R}_0\ll \omega L_0\\ G_0\ll \omega C_0\end{array}$$
忽略高阶项，传播常数$\gamma$可以表示为：
$$\gamma =j\omega \sqrt{L_0{C}_0}\sqrt{1-j(\frac{R_0}{\omega L_0}+\frac{G_0}{\omega C_0})}$$
为了更容易区分衰减常数$\alpha$和相位常数$\beta$，我们使用一阶泰勒级数将后半部分根号下的内容展开。
泰勒级数展开式：
$$\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x+.......$$
$$\begin{gathered} \gamma =j\omega \sqrt{L_0{C}_0}[1-\frac{j}{2}(\frac{R_0}{\omega L_0}+\frac{G_0}{\omega C_0})] \\ =\frac{1}{2}(R_0\sqrt{\frac{C_0}{L_0}}+G_0\sqrt{\frac{L_0}{C_0}})+j\omega \sqrt{L_0{C}_0} \end{gathered}$$
因此，衰减常数和相位常数可以表示为：
$$\begin{gathered} \alpha =\frac{1}{2}(R_0\sqrt{\frac{C_0}{L_0}}+G_0\sqrt{\frac{L_0}{C_0}}) \\ \beta =\omega \sqrt{L_0{C}_0} \end{gathered}$$

无耗传输线

对于无耗传输线，$R_0$和$G_0$均为0，因此传播常数可以表示为：
$$\gamma =j\omega \sqrt{L_0{C}_0}$$
$$\begin{gathered} \alpha =0 \\ \beta =\omega \sqrt{L_0{C}_0} \end{gathered}$$
衰减常数$\alpha =0$相位常数$\beta$与低耗传输线相同。此时
$$\gamma =j\beta$$
传输线方程的通解可以改写为：
$$\{\begin{array}{l}V(z)=V_0^{+}{e}^{-j\beta z}+V_0^{-}{e}^{+j\beta z}\\ I(z)=\frac{1}{Z_0}(V_0^{+}{e}^{-j\beta z}-V_0^{-}{e}^{+j\beta z})\end{array}$$

传输线方程的特解

若以负载两侧电压$V_L$和流过负载的电流$I_L$为边界条件，可以确定均匀传输线方程的特解。

如上图所示，以$z=0$处为负载。在通解中带入

$$\{\begin{array}{l}V(0)=V_L\\ I(0)=I_L\end{array}$$
$$\{\begin{array}{l}V(z)=V_0^{+}{e}^{-\gamma z}+V_0^{-}{e}^{\gamma z}\\ I(z)=\frac{1}{Z_0}(V_0^{+}{e}^{-\gamma z}-V_0^{-}{e}^{\gamma z})\end{array}$$
得到：
$$\{\begin{array}{l}{V}_L=V_0^{+}+V_0^{-}\\ I_L=\frac{V_0^{+}-V_0^{-}}{Z_0}\end{array}$$
$$\{\begin{array}{l}{V}_0^{+}=\frac{V_L+Z_0{I}_L}{2}\\ V_0^{-}=\frac{V_L-Z_0{I}_L}{2}\end{array}$$
因此在距离负载距离为$l$处，即$z=-l$处，电压和电流的分布表达式为：
$$\{\begin{array}{l}V(-l)=\frac{V_L+Z_0{I}_L}{2}{e}^{+\gamma l}+\frac{V_L-Z_0{I}_L}{2}{e}^{-\gamma l}\\ I(-l)=\frac{V_L+Z_0{I}_L}{2Z_0}{e}^{+\gamma l}-\frac{V_L-Z_0{I}_L}{2Z_0}{e}^{-\gamma l}\end{array}$$
$$\Downarrow$$
$$\{\begin{array}{l}V(-l)=\frac{V_L}{2}(e^{+\gamma l}+e^{-\gamma l})+\frac{Z_0{I}_L}{2}(e^{+\gamma l}-e^{-\gamma l})\\ I(-l)=\frac{V_L}{2Z_0}(e^{+\gamma l}-e^{-\gamma l})+\frac{I_L}{2}(e^{+\gamma l}+e^{-\gamma l})\end{array}$$
因为
$$chx=\frac{e^x+e^{-x}}{2};shx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$
所以，在已知负载电压和电流作为边界条件，传输线方程的特解可以简化表示为：
$$\{\begin{array}{l}V(-l)=V_{L}ch(\gamma l)+Z_0{I}_{L}sh(\gamma l)\\ I(-l)=I_{L}ch(\gamma l)+\frac{V_L}{Z_0}sh(\gamma l)\end{array}$$

传输线的特征参数

输入阻抗

传输线的输入阻抗用来描述：传输线上由反射波和入射波叠加组合成的合成波的阻抗特性。即传输线上任意一点合成波电压与合成波电流之比。
$$Z_{in}=\frac{V(z)}{I(z)}$$
上式中的$z$为坐标，即传输线上任意一点$z$都有对应的输入阻抗$Z_{in}$
由上节中得到的传输线方程特解可以得到：
$$\begin{gathered} Z_{in}=\frac{V_{L}ch(\gamma l)+Z_0{I}_{L}sh(\gamma l)}{I_{L}ch(\gamma l)+\frac{V_L}{Z_0}sh(\gamma l)} \\ =Z_0\frac{\frac{V_L}{I_L}ch(\gamma l)+Z_{0}sh(\gamma l)}{Z_{0}ch(\gamma l)+\frac{V_L}{I_L}sh(\gamma l)} \\ =Z_0\frac{Z_{L}ch(\gamma l)+Z_{0}sh(\gamma l)}{Z_{0}ch(\gamma l)+Z_{L}sh(\gamma l)} \\ =Z_0\frac{Z_L+Z_{0}th(\gamma l)}{Z_0+Z_{L}th(\gamma l)} \end{gathered}$$
对于无耗传输线，$\gamma =j\beta$
$$Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+j{Z}_{0}tan(\beta l)}{Z_0+j{Z}_{L}tan(\beta l)}$$
事实上，传输线上任意一点的阻抗相当于由该点向负载看去所呈现的阻抗。换句话说，它是负载经历一段长为$l$的传输线变换后在该点反应的阻抗。因此在传输线上的某一点，其右端的一段传输线及负载的作用，可以用在该点接一个其值等于该输入阻抗$Z_{i}n$的集总阻抗来等效。
根据上文中无耗传输线输入阻抗表达式，当$Z_L=Z_0$时$Z_{in}=Z_0$且与$l$的取值无关。这表明，在端接匹配负载的传输线上，各点的输入阻抗都等于特征阻抗$Z_{in}=Z_0=Z_L$。这是因为此时传输线上不参在反射波的结果。当$Z_L\ne Z_0$时，输入阻抗$Z_{in}(l)$是线长$l$d=的周期函数，其周期为$\frac{\lambda }{2}$。因此，对于一个固定的负载阻抗，只要改变连接它的传输线长度$l$即可改变其输入端的$Z_{in}$
如上文所述，对于无耗传输线有：
$$\begin{gathered} \alpha =0 \\ \beta =\omega \sqrt{L_0{C}_0} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+j{Z}_{0}tan(\omega \sqrt{L_0{C}_0}l)}{Z_0+j{Z}_{L}tan(\omega \sqrt{L_0{C}_0}l)} \\ =Z_0\frac{Z_L+j{Z}_{0}tan(2\pi \frac{C}{\lambda }\sqrt{L_0{C}_0}l)}{Z_0+j{Z}_{L}tan(2\pi \frac{C}{\lambda }\sqrt{L_0{C}_0}l)} \\ 上式中C为光速 \end{gathered}$$
下表中列出了$\frac{\lambda }{4}$和$\frac{\lambda }{2}$的阻抗变换特性：

通过控制传输线的长度可以使传输线起到阻抗变换器的作用。在工程中四分之一阻抗变换器具有“阻抗倒置”的作用。二分之一阻抗变换器具有“阻抗还原”的作用。

反射

反射现象的描述

确定坐标轴方向指向负载的情况下，传输线上任意一点的电压和电流的瞬时表达式为：
$$\{\begin{array}{l}V(z)=V_0^{+}{e}^{-\gamma z}+V_0^{-}{e}^{\gamma z}\\ I(z)=\frac{1}{Z_0}(V_0^{+}{e}^{-\gamma z}-V_0^{-}{e}^{\gamma z})\end{array}$$
带入$\gamma =\alpha +j\beta$，并利用欧拉公式展开。
$$\{\begin{array}{l}V(z)=V_0^{+}{e}^{-\alpha z}(cos(-\beta z)+jsin(-\beta z))+V_0^{-}{e}^{\alpha z}(cos(\beta z)+jsin(\beta z))\\ I(z)=\frac{1}{Z_0}(V_0^{+}{e}^{-\alpha z}(cos(-\beta z)+jsin(-\beta z))-V_0^{-}{e}^{\alpha z}(cos(\beta z)+jsin(\beta z)))\end{array}$$
这里复数的使用目的不同于阻抗（实部表示电阻，虚部表示电抗，有各自不同的物理意义），我们在微分方程的通解中引入$e$指数是为了方便求解。实际我们在示波器上观察这段波形是仅有实部余弦信号。对上面的式子取实部，得到：
$$\{\begin{array}{l}V(z)=V_0^{+}{e}^{-\alpha z}cos(-\beta z)+V_0^{-}{e}^{\alpha z}cos(\beta z)\\ I(z)=\frac{1}{Z_0}[V_0^{+}{e}^{-\alpha z}cos(-\beta z)-V_0^{-}{e}^{\alpha z}cos(\beta z)]\end{array}$$
传输线上任一点的电压和电流的瞬时表达式为：
$$\{\begin{array}{l}v(z,t)=V_0^{+}{e}^{-\alpha z}cos(\omega t-\beta z)+V_0^{-}{e}^{\alpha z}cos(\omega t+\beta z)\\ i(z,t)=\frac{1}{Z_0}[V_0^{+}{e}^{-\alpha z}cos(\omega t-\beta z)-V_0^{-}{e}^{\alpha z}cos(\omega t+\beta z)]\end{array}$$
上式表示，传输线上电压波和电流波均由两部分构成：
$$V:\{\begin{array}{l}电压入射波：V_0^{+}{e}^{-\alpha z}cos(\omega t-\beta z),延+z方向衰减，相位逐渐滞后\\ 电压反射波：V_0^{-}{e}^{\alpha z}cos(\omega t+\beta z)，延负载向电源方向的衰减波\end{array}$$

1. 传输线上任意一点的电压波/电流波等于入射电压波/电流波与反射电压波/电流波的叠加。
2. 入射电压波与反射电压波的相位相同，入射电流波与反射电流波的相位相反。

反射系数

定义：传输线上任一点的电压反射系数为该点的电压反射波与电压入射波之比。
反射系数用字母$\Gamma$表示。电压反射系数和电流反射系数可以分别表示为：
$${\Gamma }_V(z)=\frac{V^{-}(z)}{V^{+}(z)}$$
$${\Gamma }_I(z)=\frac{I^{-}(z)}{I^{+}(z)}$$
如上文所述，由于电流反射波的相位与电流入射波相反，有：
$${\Gamma }_V(z)=-{\Gamma }_I(z)$$
但是通常使用电压反射系数来表征反射特性，记为$\Gamma (z)$。
如果终端负载是无源负载，反射系数的大小一般满足：
$$0\le |\Gamma (z)|\le 1$$
如上文所述，如果已知终端负载处的电压和电流作为边界条件，求传输线方程的特解，得到：
$$\{\begin{array}{l}V(z)=V_0^{+}{e}^{-\gamma z}+V_0^{-}{e}^{\gamma z}\\ I(z)=\frac{1}{Z_0}(V_0^{+}{e}^{-\gamma z}-V_0^{-}{e}^{\gamma z})\end{array}$$
$$\{\begin{array}{l}{V}_0^{+}=\frac{V_L+Z_0{I}_L}{2}\\ V_0^{-}=\frac{V_L-Z_0{I}_L}{2}\end{array}$$
此时反射系数可以表示为：
$$\begin{gathered} \Gamma (z)=\frac{V_0^{-}{e}^{\gamma z}}{V_0^{+}{e}^{-\gamma z}} \\ =\frac{V_L-Z_0{I}_L}{V_L+Z_0{I}_L}{e}^{2\gamma z} \\ =\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}{e}^{2\gamma z} \end{gathered}$$
上式中在终端$z=0$处的反射系数称为终端反射系数，用${\Gamma }_L$表示。
$${\Gamma }_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=|{\Gamma }_L|e^{j{\varphi }_L}$$
因此，也可以得到在距离负载$l$处即$z=-l$处的反射系数为：
$$\Gamma (-l)=|{\Gamma }_L|e^{(j{\varphi }_L-2\gamma l)}=|{\Gamma }_L|e^{-\alpha l}{e}^{j({\varphi }_L-2\beta l)}$$
对于均匀无耗传输线，衰减常数$\alpha =0$。
$$\Gamma (-l)=|{\Gamma }_L|e^{j({\varphi }_L-2\beta l)}$$
由上式可以看到，在均匀传输线各处的反射系数模值不变，改变的只是相位大小。
计算在均与无耗传输线$z=-l$处电压表达式：
$$\{\begin{array}{l}电压入射波：V_{in}(-l)=V_0^{+}{e}^{j\beta l}\\ 电压反射波：V_{ref}(-l)=V_{in}(-l)\Gamma (-l)=V_0^{+}{e}^{j\beta l}|{\Gamma }_L|e^{j({\varphi }_L-2\beta l)}\end{array}$$
$$\begin{gathered} V(-l)=V_{in}(-l)+V_{ref}(-l) \\ =V_0^{+}{e}^{j\beta l}[1+|{\Gamma }_L|e^{j({\varphi }_L-2\beta l)}] \end{gathered}$$
观察上式，我们知道在$z=-l$处的反射波要比入射波相位滞后$2\beta l$。

上图中，$\Gamma$表示观察点的反射系数，如a图所示，初相为${\varphi }_L$。$\Gamma$的相位变化周期为$2\pi$，对应的传输线长度为$\frac{\lambda }{2}$。
进一步，我们可以得到传输线上的总电压和总电流
$$\{\begin{array}{l}V(z)=V_0^{+}(e^{-j\beta z}+{\Gamma }_L{e}^{+j\beta z})\\ I(z)=\frac{V_0^{+}}{Z_0}(e^{-j\beta z}-{\Gamma }_L{e}^{+j\beta z})\end{array}$$
对于无耗传输线模型，在终端处的反射系数，总结如下：
$${\Gamma }_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=|{\Gamma }_L|e^{j{\varphi }_L}$$

回波损耗

当阻抗失配时，不是所有来自源的可用功率都传给了负载，有一部分能量被反射回去。这种损耗称为回波损耗$RL$，它的定义为：
$$RL=-20lg|\Gamma |dB$$

驻波比

在微波测量中，直接测量反射系数通常是不方便的，因为我们不易分别测出线上某一点的入射波电压和反射波电压以及它们的相位差，但测量沿线各点的电压（或电流）的大小分布，即线上入射波和反射波合成的驻波图形则是方便的。因此我们引入另一个便于直接测量的量——驻波比$\rho$来描述传输线上的反射情况。
传输线上的驻波比$\rho$定义为：传输线上电压振幅最大值与最小值之比。
$$\rho =\frac{|V{|}_{max}}{|V{|}_{min}}$$
$$1\le \rho \le \infty$$
因为传输线上任一点上电压是由入射波电压和反射波电压叠加而成的，所以当入射波电压与反射波电压同相位时，电压出现最大值。当入射波电压与反射波电压反相位时，电压出现最小值，因此对于无耗传输线有：
$$\begin{gathered} |V{|}_{max}=|V^{+}(z)|+|V^{-}(z)|=|V^{+}(z)|[1+|\Gamma |] \\ |V{|}_{min}=|V^{+}(z)|-|V^{-}(z)|=|V^{+}(z)|[1-|\Gamma |] \end{gathered}$$
关于上式中取模操作：仅考虑反射系数对电压幅值的影响
由此可以得到驻波比与反射系数之间的关系：
$$\rho =\frac{1+|\Gamma |}{1-|\Gamma |}$$
或
$$\Gamma =\frac{\rho -1}{\rho +1}$$
传输线上的驻波比也称为驻波系数，用VSWR（Voltage Standing Wave Ratio）表示，有时也用行波系数$K$表示:
$$K=\frac{|V{|}_{min}}{|V{|}_{max}}=\frac{1}{\rho }$$

输入阻抗与反射系数的关系

输入阻抗$Z_{in}$、反射系数$\Gamma$都描述了传输线上有反射时的特性。在坐标$z$处，有：
$$Z_{in}=\frac{V(z)}{I(z)}=\frac{V^{+}(z)+V^{-}(z)}{I^{+}(z)+I^{-}(z)}=\frac{V^{+}(z)(1+\Gamma )}{I^{+}(z)(1-\Gamma )}$$
根据传输线特征阻抗$Z_0$的定义：当传输线没有反射（匹配）时，入射波电压与入射波电流之比（行波电压与行波电流之比），且均匀传输线的特征阻抗与观察点的坐标无关。

$$Z_{in}=Z_0\frac{1+\Gamma }{1-\Gamma }$$
$$\Gamma =\frac{Z_{in}-Z_0}{Z_{in}+Z_0}$$

传输功率

如上文所述，对于均与无耗传输线，线上任一点$z$处的电压和电流可以表示为：
$$\{\begin{array}{l}V(z)=V_0^{+}(e^{-j\beta z}+{\Gamma }_L{e}^{+j\beta z})\\ I(z)=\frac{V_0^{+}}{Z_0}(e^{-j\beta z}-{\Gamma }_L{e}^{+j\beta z})\end{array}$$
则正弦波信号传输功率可以表达为：
P(z)=12Re{V(z)I(z)}=12∣V0+∣2Z0Re{e−2jβz−∣ΓL∣2e+2jβz}=12∣V0+∣2Z0(1−∣ΓL∣2) P(z)=\frac{1}{2}Re\{V(z)I(z)\} \\ =\frac{1}{2}\frac{|V_0^+|^2}{Z_0}Re\{e^{-2j\beta z}-|\Gamma_L|^2e^{+2j\beta z}\} \\ =\frac{1}{2}\frac{|V_0^+|^2}{Z_0}(1-|\Gamma_L|^2) P(z)=21​Re{V(z)I(z)}=21​Z0​∣V0+​∣2​Re{e−2jβz−∣ΓL​∣2e+2jβz}=21​Z0​∣V0+​∣2​(1−∣ΓL​∣2)
显然，可以将入射功率表达为：
$$P^{+}(z)=\frac{1}{2}\frac{|V_0^{+}{|}^2}{Z_0}$$
反射功率表达为：
$$P^{-}(z)=-\frac{1}{2}\frac{|V_0^{+}{|}^2}{Z_0}|{\Gamma }_L{|}^2$$
所以，对于无耗传输线，总传输功率等于入射功率减反射功率，入射波和反射波是相互独立的，没有相互作用。

传输线的工作状态

传输线的工作状态是指传输线上电压电流的分布状态。传输线根据其端接负载阻抗的不同，可具有三种不同的工作状态，即行波、驻波和行驻波。

行波状态

行波状态是指传输线上无反射波的工作状态，此时终端反射系数${\Gamma }_L=0$传输线上各点的反射系数$\Gamma (z)=0$。传输线处于行波状态的条件是：
$$Z_0=Z_L$$
即终端负载阻抗等于传输线的特征阻抗，此时也称为终端匹配。
根据反射系数和驻波比之间的关系，此时驻波比$\rho =1$。
行波状态下，任一点的输入阻抗等于传输线特征阻抗。
行波状态下无耗传输线上电压和电流的表达式为：
$$\{\begin{array}{l}V(z)=V_0^{+}{e}^{-j\beta z}\\ I(z)=\frac{V_0^{+}}{Z_0}{e}^{-j\beta z}\end{array}$$

驻波状态

驻波状态是指传输线处于全反射状态，此时反射系数绝对值为1，即$|{\Gamma }_L|=1$；对应的，驻波比为无穷大，$\rho =\infty$。
传输线处于驻波状态的条件是：
$$\{\begin{array}{l}{Z}_L=0（终端短路）\\ Z_L=\infty （终端开路）\\ Z_L=jX（终端为纯电抗负载）\end{array}$$

1. 终端短路

当终端短路，$Z_L=0$，反射系数${\Gamma }_L=-1$。传输线上电压和电流可以表示为:
$$\{\begin{array}{l}V(z)=V_0^{+}(e^{-j\beta z}-e^{+j\beta z})\\ I(z)=\frac{V_0^{+}}{Z_0}(e^{-j\beta z}+e^{+j\beta z})\end{array}$$
进一步可以得到：
$$\begin{gathered} V(z)=V_0^{+}{e}^{-j\beta z}(1-e^{+j2\beta z}) \\ =V_0^{+}{e}^{-j\beta z}(1-cos(2\beta z)-jsin(2\beta z)) \\ =V_0^{+}{e}^{-j\beta z}(2si{n}^2(\beta z)-j2sin(\beta z)cos(\beta z)) \\ =2V_0^{+}sin(\beta z)e^{-j\beta z}(sin(\beta z)-jcos(\beta z)) \\ =2V_0^{+}sin(\beta z)e^{-j\beta z}(-j)e^{j\beta z} \\ =-j2V_0^{+}sin(\beta z) \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} I(z)=\frac{V_0^{+}}{Z_0}{e}^{-j\beta z}(1+e^{+j2\beta z}) \\ =\frac{V_0^{+}}{Z_0}{e}^{-j\beta z}(1+cos(2\beta z)-jsin(2\beta z)) \\ =\frac{V_0^{+}}{Z_0}{e}^{-j\beta z}(2co{s}^2(\beta z)-jsin(2\beta z)) \\ =2\frac{V_0^{+}}{Z_0}cos(\beta z)e^{-j\beta z}(cos(\beta z)-jsin(\beta z)) \\ =\frac{2V_0^{+}}{Z_0}cos(\beta z) \end{gathered}$$
$$\Downarrow$$
$$\{\begin{array}{l}V(z)=-j2V_0^{+}sin(\beta z)\\ I(z)=\frac{2V_0^{+}}{Z_0}cos(\beta z)\end{array}$$
上式表示，当终端短路时，无耗传输线上电流按余弦变化，电压按正弦变化。根据周期性，
在与负载间的距离$l$为$\frac{\lambda }{2}$整数倍处电压为0，而电流振幅最大，这些点称为电压波节点或电流波腹点；
在与负载间的距离$l$为$\frac{\lambda }{4}$奇数倍电压振幅最大，电流总为0，这些点称为电压波腹点或电流波节点。
此时任一点处的输入阻抗满足：
$$Z_{in}=-j{Z}_{0}tan(\beta z)$$
传输线上任一点处阻抗均呈现点抗性。
当$z=-\frac{\lambda }{4}$时，输入阻抗趋于无穷，相当于并联谐振。
当$-\frac{\lambda }{4}<z<0$时，传输线呈感性。
当$z=0$时，输入阻抗为0，相当于串联谐振。
当$0<z<\frac{\lambda }{4}$时，传输线整体呈容性。

显然，当负载短路时，传输线上功率为0。深层次原因为，此时传输线上电压和电流的相位相差$\frac{\pi }{2}$，只能存储能量而不能传输能量，电磁场总能量为常数，随时间变化以电场能和磁场能的形式相互转换。

2. 终端开路

$${\Gamma }_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=|{\Gamma }_L|e^{j{\varphi }_L}$$
由负载端反射系数公式可知，当终端开路，即$Z_L=\infty$，反射系数${\Gamma }_L=1$。传输线上的的电压和电流可以表示为：
$$\{\begin{array}{l}V(z)=V_0^{+}(e^{-j\beta z}+e^{+j\beta z})\\ I(z)=\frac{V_0^{+}}{Z_0}(e^{-j\beta z}-e^{+j\beta z})\end{array}$$
$$\Downarrow$$
$$\{\begin{array}{l}V(z)=2V_0^{+}cos(\beta z)\\ I(z)=-j\frac{2V_0^{+}}{Z_0}sin(\beta z)\end{array}$$
因此传输线上任一点$z$处输入阻抗为$Z_{in}=j{Z}_{0}cot(\beta z)$。与终端短路时输入阻抗的表达式类似。两者间差别仅为相对负载平移了$\frac{\lambda }{4}$。

3. 终端接纯电抗负载

假设终端电抗负载表示为$Z_L=j{X}_L$则有：
$${\Gamma }_L=\frac{j{X}_L-Z_0}{j{X}_L+Z_0}=|{\Gamma }_L|e^{j{\varphi }_L}$$
此时反射系数为复数，但因为分子、分母上的实部和虚部均相等，反射系数的模值为1，即$|{\Gamma }_L|=1$。
$$\rho =\frac{1+|\Gamma |}{1-|\Gamma |}$$
对应的，此时驻波比为$\rho =\infty$。可见，当传输线负载为纯电抗时也会发生全反射，传输线工作于驻波状态。
$${\varphi }_L=arctan(\frac{2X_L{Z}_0}{Z_0^2+X_L^2})$$
但负载处对应的既不是驻波电压节点也不是驻波电压腹点。

行驻波状态

当终端接任意负载，即$Z_L=R_L+j{X}_L，R_L\ne 0或Z_L=R_L\ne Z_0$时，入射波的一部分能量被吸收、一部分能量被反射。传输线上既有行波又有驻波，叠加形成行驻波的状态。