微带阻抗匹配网络（一）

微波传输线

电路理论和传输线理论之间的关键差别是电尺寸。电路理论中，由于电路尺寸远小于其工作波长，因此在电路分析中不考虑信号在传输过程中电压、电流幅度和相位的变化。而在微波下工作的传输线，其几何长度$l$与工作波长$\lambda$在同一数量级。

长线理论

通过定义电长度，对传输线进行分类：
$$电长度=\frac{l}{\lambda }$$
当传输线长度大于信号波长的十分之一，即电长度$\frac{l}{\lambda }>0.1$时，传输线就应该被视为长线处理。此时，传输线上的电压和电流不仅与时间有关，也与位置有关。如下图所示：

微带线属于微波传输线的一种，是准TEM波传输线。

传输线的分布参数

对于长线来说，同一时刻传输线上不同位置的电压、电流幅度和相位相差很大，就必须考虑传输线的分布参数。
传输线的分布参数主要有：

1. 由传输线导体自身电阻以及趋肤效应产生的分布电阻$R$。
2. 由传输线相邻两个导体之间绝缘介质的漏电流而产生的并联电阻，用电导$G$表示。
3. 传输线相邻两导体之间存在的寄生电容$C$。
4. 传输线自感产生的分布电感$L$。
   

电报方程及其求解

假设传输线分布参数均匀不变，即一条均匀传输线。如果在线上任取一段线元$dz$，且满足$dz\ll \lambda$，则可以将其视作集总参数电路，等效网络如下图所示。

列出电报方程

基尔霍夫电压定律

$$v(z,t)-i(z,t)R_{0}dz-(L_{0}dz)\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}-v(z+dz,t)=0$$

基尔霍夫电流定律

$$i(z,t)-(G_{0}dz)v(z+dz,t)-(C_{0}dz)\frac{\partial v(z+dz,t)}{\partial t}-i(z+dz,t)=0$$

近似与化简

当$z$很小时，电压和电流的增量可以用微分表示，即：

$$\{\begin{array}{l}v(z+dz,t)=v(z,t)+\frac{\partial v(z,t)}{\partial z}dz\\ i(z+dz,t)=i(z,t)+\frac{\partial i(z,t)}{\partial z}dz\end{array}$$

带入基尔霍夫电压等式

$$\{\begin{array}{l}v(z,t)-i(z,t)R_{0}dz-(L_{0}dz)\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}-v(z+dz,t)=0\\ v(z+dz,t)=v(z,t)+\frac{\partial v(z,t)}{\partial z}dz\end{array}$$

$$\Rightarrow v(z,t)-(R_{0}dz)i(z,t)-(L_{0}dz)\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}-v(z,t)-\frac{\partial v(z,t)}{\partial z}dz=0$$
$$\Rightarrow \frac{\partial v(z,t)}{\partial z}dz+(L_{0}dz)\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}+(R_{0}dz)i(z,t)=0$$
$$\Rightarrow \frac{\partial v(z,t)}{\partial z}+L_0\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}+R_{0}i(z,t)=0$$

带入基尔霍夫电流等式

$$\{\begin{array}{l}i(z,t)=i(z+dz,t)-\frac{\partial i(z,t)}{\partial z}dz\\ i(z,t)-(G_{0}dz)v(z+dz,t)-(C_{0}dz)\frac{\partial v(z+dz,t)}{\partial t}-i(z+dz,t)=0\end{array}$$
$$\Rightarrow \frac{\partial i(z,t)}{\partial z}dz+(G_{0}dz)v(z+dz,t)+(C_{0}dz)\frac{\partial v(z+dz,t)}{\partial t}=0$$
$$\Rightarrow \frac{\partial i(z,t)}{\partial z}+G_{0}v(z,t)+C_0\frac{\partial v(z,t)}{\partial t}=0$$

传输线方程（电报方程）

将上节中得到的两个微分方程联立即可得到传输线方程。
$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial v(z,t)}{\partial z}+L_0\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}+R_{0}i(z,t)=0\\ \frac{\partial i(z,t)}{\partial z}+G_{0}v(z,t)+C_0\frac{\partial v(z,t)}{\partial t}=0\end{array}$$
$$\Downarrow$$
$$\{\begin{array}{l}-\frac{\partial v(z,t)}{\partial z}=L_0\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}+R_{0}i(z,t)\\ -\frac{\partial i(z,t)}{\partial z}=C_0\frac{\partial v(z,t)}{\partial t}+G_{0}v(z,t)\end{array}$$
如果$v$和$i$都是简谐波，则可以表示成：
$$\{\begin{array}{l}v(z,t)=Re[V(z)e^{j\omega t}]\\ i(z,t)=Re[I(z)e^{j\omega t}]\end{array}$$
将上述形式带入到传输线方程中：
$$\{\begin{array}{l}-\frac{\partial (V(z)e^{j\omega t})}{\partial z}=L_0\frac{\partial (I(z)e^{j\omega t})}{\partial t}+R_{0}I(z)e^{j\omega t}\\ -\frac{\partial (I(z)e^{j\omega t})}{\partial z}=C_0\frac{\partial (V(z)e^{j\omega t})}{\partial t}+G_{0}V(z)e^{j\omega t}\end{array}$$
$$\Downarrow$$
$$\{\begin{array}{l}-\frac{\partial V(z)}{\partial z}{e}^{j\omega t}=L_{0}j\omega I(z)e^{j\omega t}+R_{0}I(z)e^j\omega t\\ -\frac{\partial I(z)}{\partial z}{e}^{j\omega t}=C_{0}j\omega V(z)e^{j\omega t}+G_{0}V(z)e^{j\omega t}\end{array}$$
$$\Downarrow$$
$$\{\begin{array}{l}-\frac{\partial V(z)}{\partial z}=I(z)(j\omega L_0+R_0)\\ -\frac{\partial I(z)}{\partial z}=V(z)(j\omega C_0+G_0)\end{array}$$
我们可以发现，传输线方程组等式右侧括号中的部分，分别是传输线水平方向的串联阻抗和垂直方向的并联导纳。

令：
$$\{\begin{array}{l}Z=R_0+j\omega L_0\\ Y=G_0+j\omega C_0\end{array}$$
则有：
$$\{\begin{array}{l}-\frac{\partial V(z)}{\partial z}=ZI(z)\\ -\frac{\partial I(z)}{\partial z}=YV(z)\end{array}$$
对上面两等式的等号两侧分别微分，得到：
$$\{\begin{array}{l}-\frac{{\partial }^{2}V(z)}{\partial z^2}=Z\frac{\partial I(z)}{\partial z}\\ -\frac{{\partial }^{2}I(z)}{\partial z^2}=Y\frac{\partial V(z)}{\partial z}\end{array}$$
联立传输线方程与其微分结果，得到：
$$\{\begin{array}{l}-\frac{\partial V(z)}{\partial z}=ZI(z)\\ -\frac{\partial V(z)}{\partial z}=\frac{1}{Y}\frac{{\partial }^{2}I(z)}{\partial z^2}\\ \\ -\frac{\partial I(z)}{\partial z}=YV(z)\\ -\frac{\partial I(z)}{\partial z}=\frac{1}{Z}\frac{{\partial }^{2}V(z)}{\partial z^2}\end{array}$$
$$\Downarrow$$
$$\{\begin{array}{l}\frac{1}{Y}\frac{{\partial }^{2}I(z)}{\partial z^2}=ZI(z)\\ \frac{1}{Z}\frac{{\partial }^{2}V(z)}{\partial z^2}=YV(z)\end{array}$$
$$\Downarrow$$
$$\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}I(}{\partial z^2}\end{array}$$