倒立摆模型分析

参考及致谢

一阶倒立摆的PID控制和LQR控制
由拉普拉斯变换到传递函数
函数f(t)二阶导数的拉普拉斯变换是什么？
[1]翟龙余.一级倒立摆仿真模型的建立[J].大众科技,2011(8):268-270.

模型建立

对小车的水平受力分析

$$M\ddot{x}=F-b\dot{x}-N$$

1. $\ddot{x}$代表对运动距离的二阶微分，即小车在外力作用下的加速度。
2. $F$是外部施加给系统的外力。
3. $\dot{x}$代表小车当前的运动速度，小车所受到的摩擦力为摩擦系数与小车运动速度之积，即$f=b\dot{x}$。
4. $N$为倒单摆作用给小车水平方向的力。

对倒单摆的水平受力分析

摆杆做平面运动，其质心在外力作用下，在一段时间内的水平位移为$s=x-l\times sin\psi$ (因为倒立摆的倒向与外力$F$的方向相反，所以中间用负号)，其加速度可以表示成
$$\ddot{s}=\frac{d^{2}s}{d{t}^2}=\frac{d^2(x-l\times sin\psi )}{d{t}^2}=\ddot{x}-l(\frac{d^{2}sin\psi }{d{t}^2})$$
$$=\ddot{x}-l\frac{cos\psi \frac{d\psi }{dt}}{dt}=\ddot{x}-l[-sin\psi (\frac{d\psi }{dt}{)}^2+cos\psi \frac{d^2\psi }{d{t}^2}]$$
更换符号后即可得到：
s ¨ = x ¨ + l s i n ψ ( ψ ˙ ) 2 − l c o s ψ ( ψ ¨ ) \ddot{s}=\ddot{x}+lsin\psi(\dot{\psi})^2-lcos\psi(\ddot{\psi})