闫氏 DP 分析法

前言

闫氏 DP 分析法提出者：闫学灿（本文章大体讲述分析法内容）

闫氏 DP 分析法是从集合角度分析 DP 问题。
其中，闫氏 DP 分析法主要由状态表示与状态计算组成。

状态表示

首先，做任何 DP 问题，我们都需要对于问题中的状态进行表示。

首先思考一下，为什么 DP 的效率高于爆搜？
最主要的原因是，爆搜是枚举了所有方案集合，但是 DP 并没有这样做，而是将所有方案集合用一个数值来表示。这样，DP 就可以方便进行转移。

集合

回归 DP 的本质，用一个数值表示集合，那我们就应该明确地知道，这个集合是什么。这就是状态表示的关键。在 数字三角形 中，是 所有从最后一行走到 $(i,j)$ 的路径。注意，这里的所有，就是闫氏 DP 分析法与普通 DP 思路的差别。

属性

如果直接用集合来表示状态，那么 DP 就与爆搜无异。DP 是用数值来表示集合，所以状态存储的应该是数值，而且数值应该是集合中的一个属性。对于一般的状态，属性是 最大值/最小值/数量（ max ⁡ / min ⁡ / count \max/\min/\text{count}