动态规划（介绍闫氏dp分析法及相关例题分析）-优快云博客

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本文介绍了动态规划的基本思路，特别是闫氏dp分析法，通过01背包问题、完全背包问题和区间dp问题为例进行深入分析。详细阐述了如何运用状态表示和状态计算来解决这些问题，并提供了实例代码，帮助读者理解和掌握动态规划的解决技巧。

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闫氏dp分析法

基本思路介绍：

首先是在看问题时，知道这道题要用dp去做，但是怎么去实现呢？空想是很难去构造式子的，闫氏dp方法的核心就是用集合的方法去分析问题，从集合的角度入手去解决问题。
新手入门一般就是求有限集合中的最值，比如大家常见的求一堆符合要求的方案中的最优值，这里就要分为两个阶段：化零为整，化整为零。第一是找出符合要求的方案，二是找出这些方案中的最优值（但有些题目也可能要让你找最优解、第k解，不定）。
闫氏dp分析法流程图：
在这里插入图片描述

1)状态表示 (对应化零为整的过程)：我们每次去处理问题的时候，不是一个元素一个元素去枚举，而是每次枚举一类东西，比如去枚举一个子集，就是将一些有相似点的元素化成一个子集，然后用某一个状态来表示。
状态表示分为集合和属性：
集合：所有满足xx条件的集合，这就是 dp 数组所表示的集合。
属性（一般是最大值、最小值、个数、存在性）。

2)状态计算（对应化整为零的过程）：我们要了解每个状态如何去算出来。这些子集一般要满足两个划分原则：不重复、不遗漏。先搞清楚 dp [ i ] 所表示的状态是什么，然后将其划分为几个部分，然后每个部分分别去求。相当于将 dp [ i ] 划分为若干个子集。比方说我们dp [ i ] 求最大值，那么我们先去求一下每一个子集的最大值，再对它们取一个max 就行了，这就相当于把一个整体问题转化成某些子集的问题去处理。

ps：划分原则也不是绝对的，比如“不重复”，在一些情况下是允许重复的，前提是不影响结果，比如求最大值。
集合划分的依据（常用套路）：寻找最后一个不同点。
dp问题有很多种不同的模型，我们应先把各种dp模型整理出来，比如选择问题（背包模型），序列问题（最长上升子序列），状态压缩，状态积，区间dp，树形dp，单调积的优化，斜率优化，每个问题都要去整理一遍，遇到题目才会有经验去做，这是dp与其他章节不一样的地方。

用闫氏dp法进行例题分析：

01背包问题

题目大意：

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 v [ i ] ，价值是 w [ i ]。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式：

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi，wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示能取到的最大价值。

数据范围：

0< N,V ≤1000
0< vi , wi ≤1000

输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例
8

用闫氏分析法
分析01背包问题：
1、分析：
有限集合求最值，物品数量是有限的，是 n 个，总共的容量也是有限的，最大容量是 v 。我们要选一些物品装进背包，保证总体积不超过 v ，每个物品要么选要么不选两种情况，所以总共选法的数量最多就是2 ^ n 。我们从 2 ^ n 种情况里面找到能使总价值最大的方案。

状态表示：用 dp [ i ] [ j ] 表示从前 i 个物体中选取且总体积不超过 j 的选法。
状态计算：状态划分为以下两种情况：
①不选第 i 个物品，此时 dp [ i ] [ j ] = dp [ i - 1 ] [ j ]
②选择第 i 个物品，那么就要选取 dp [ i - 1 ] [ j - v [ i ] ] 的情况再加上 w [ i ] ，此时 dp [ i ] [ j ] = dp [ i - 1 ] [ j - v [ [ i ] ] + w[ i ]
对这两种可能取一个最大值，总状态转移方程为：
dp [ i ] [ j ] = max ( dp [ i - 1 ] [ j ] , dp [ i - 1 ] [ j - v [ i ] ] + w [ i ] )
③注意：只有 j >= w [ i ] 时才有第二种情况，需加上判断。

2、用闫氏分析法做出流程图：
在这里插入图片描述
如图做一个 dp [ i , j ] 集合，假设是一个椭圆，dp [ i , j ] 子集划分：通过找最后一个不同点，即选最后一个物品的状态不同，选第 i 个物品和不选第 i 个物品是不一样的。以这一点来划分整个集合。相当于把 dp [ i , j ] 划分为两个子集，左边为所有不选择第 i 个物品的方案： dp [ i , j ] = dp [ i - 1 , j ] 。右边是所有选择第 i 个物品的方案：dp [ i - 1 , j - v[ i ] ] + w [ i ] ]两边取 max 则是 dp [ i , j ]的最大值：
dp [ i , j ] = max( dp [ i - 1 ] [ j ] , dp [ i - 1 ] [ j - v [ i ] ] + w[ i ] )。

朴素代码如下（后面有优化代码）：

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#define max(a, b) (a) > (b) ? (a) : (b);
const int maxn = 1010;
using namespace std;
int dp[maxn][maxn];
int w[maxn], v[maxn];//存物品的价值、体积

int main()
{
   
	memset(dp, 0 ,sizeof(dp));
	int n, m;//n为物品数量的，m为背包质量
	scanf("%d %d",&n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d %d",&v[i], &w[i]);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
   
		for(int j = 0; j <= m; j++)
		{
   
			dp[i][j] = dp[i-1][j];//左半边子集
			if(j >= v[i])//右半边子集不一定存在，需要进行判断
				dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-v[i]] + w[i]);
		}
	}
	printf("%d\n",dp[n][m]);

	return 0;
}