摘花生 题解

题意简述

题目链接

Vijos ETO P1002

题目描述

有一个 $r\times c$ 的矩阵 $a$，矩阵上的每个点都有一个对应的数值，经过这个点就可以取得对应的数值。

现在位于位置 $(1,1)$，只能往右或者往下走，终点为 $(r,c)$。

最大化取得的数值。

题目有多组测试数据。

样例输入

2
2 2
1 1
3 4
2 3
2 3 4
1 6 5

样例输出

8
16

思路分析

这是一道经典的数字三角形模型的题目，仅将 数字三角形 三角形改为矩形。

状态表示

对于矩阵中的点 $(i,j)$，定义状态 $f_{i,j}$。

为什么是这样定义呢？很遗憾，这个问题没有通解（这个是 NP 完全问题），但是只要做多了题，就能够想出来。最后在总结数字三角形模型的时候，笔者会对这种方法做一种解释。

集合

由于路径是 $(1,1)\to (i,j)$，而且题目中要求的是取得的数值，所以集合的定义就呼之欲出了。

集合：所有从 $(1,1)$ 到 $(i,j)$ 的所有路径。

属性

题目要求最大化取得的数值，所以属性当然就是 $\max$ 了。

说得具体一点，是路径上所有取得的数值之和的 $\max$。

状态计算

最后一个不同的点是什么？就是从哪个点转移过来。

从上图可以看出 $(i,j)$ 只能由 $(i-1,j)$ 和 $(i,j-1)$ 转移而来，所以可以将集合分为两部分：

左边的集合如何计算？我们可以将其分为两步： $(1,1)\to (i-1,j)\to (i,j)$。

其中，$(1,1)\to (i-1,j)$ 有许多路径，但是它们的描述是：所有从 $(1,1)$ 到 $(i-1,j)$ 的所有路径。回顾上面的状态表示，可以发现，这个描述不正恰好是 $f(i-1,j)$ 的定义吗？所以 $(1,1)\to (i-1,j)$ 就可以用 $f_{i-1,j}$ 来表示了。

接下来是 $(i-1,j)\to (i,j)$。这一步中，取得的数值增大了 $a_{i,j}$，所以最终的结果中就要加上这一数值。

综上所述，左边的集合可以这样计算：$f_{i-1,j}+a_{i,j}$。
同理，右边的集合的计算方法：$f_{i,j-1}+a_{i,j}$。

由于属性是 $\max$，所以状态转移方程显而易见： f i , j = max ⁡ { f i − 1 , j + a i , j , f i , j − 1 + a i , j } = max ⁡ { f i − 1 , j , f i , j − 1 } + a i , j f_{i,j}=\max\{f_{i-1,j}+a_{i,j},f_{i,j-1}+a_{i,j}\}=\max\{f_{i-1,j},f_{i,j-1}\}+a_{i,j} fi,j​=max{fi−1,j​+ai,j​,fi,j−1​+ai,j​}=max{fi−1,j​,fi,j−1​}+ai,j​

当然，这道题也可以直接感性理解来做。由于 $(i,j)$ 由 $(i-1,j)$ 和 $(i,j-1)$ 转移而来，而要最大化取得的数值，所以 $(i,j)$ 应该从两个点中之前取得的数值（即 $f_{i-1,j}$ 和 $f_{i,j-1}$）最大的点转移过来，保证这一步是最优的。

代码实现

Q₁：$a$ 数组呢？
A₁：因为 $a$ 数组在读入后就再也没有用过，那么就可以直接用 $f$ 数组来读入并且进行计算。相当于用 $f$ 覆盖了 $a$。

Q₂：为什么可以一边读入一边计算？
A₂：因为 $f_{i,j}$ 仅与 $f_{i-1,j}$ 和 $f_{i,j-1}$ 相关，而循环顺序是 $i,j$ 均从小到大枚举，所以计算 $f_{i,j}$ 时 $f_{i-1,j},f_{i,j-1}$ 都已经更新过了，可以直接拿来使用。

Q₃：为什么不用考虑边界条件？
A₃：因为题目中保证了 $a$ 中的数字均为正整数，而全局变量中边界的值都是 $0$，非边界的值更新过后必然大于 $0$，所以边界的值时不会被 max() 选中。当然，$(1,1)$ 的时候两个前驱值都是 $0$，但是由于 $f_{1,1}=a_{1,1}$，所以这样写的话两个代码时等价的。

#include <iostream>
const int MAX = 110;

int T, R, C;
int f[MAX][MAX];

int main() {
  for (std::cin >> T; T; --T) {
    std::cin >> R >> C;
    for (int i = 1; i <= R; ++i)
      for (int j = 1; j <= C; ++j)
        std::cin >> f[i][j], f[i][j] += std::max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
        // 直接使用状态转移方程进行计算
    std::cout << f[R][C] << std::endl;
    // 根据定义，f[R][C] 就是所有从 (1,1) 到 (R,C) 的所有路径取得的数值的最大值，也就是答案了。
  }
  return 0;
}