摘花生 题解

题意简述

题目链接

Vijos ETO P1002

题目描述

有一个 $r\times c$ 的矩阵 $a$，矩阵上的每个点都有一个对应的数值，经过这个点就可以取得对应的数值。

现在位于位置 $(1,1)$，只能往右或者往下走，终点为 $(r,c)$。

最大化取得的数值。

题目有多组测试数据。

样例输入

2
2 2
1 1
3 4
2 3
2 3 4
1 6 5

样例输出

8
16

思路分析

这是一道经典的数字三角形模型的题目，仅将 数字三角形 三角形改为矩形。

状态表示

对于矩阵中的点 $(i,j)$，定义状态 $f_{i,j}$。

为什么是这样定义呢？很遗憾，这个问题没有通解（这个是 NP 完全问题），但是只要做多了题，就能够想出来。最后在总结数字三角形模型的时候，笔者会对这种方法做一种解释。

集合

由于路径是 $(1,1)\to (i,j)$，而且题目中要求的是取得的数值，所以集合的定义就呼之欲出了。

集合：所有从 $(1,1)$ 到 $(i,j)$ 的所有路径。

属性

题目要求最大化取得的数值，所以属性当然就是 $\max$ 了。

说得具体一点，是路径上所有取得的数值之和的 $\max$。

状态计算

最后一个不同的点是什么？就是从哪个点转移过来。

从上图可以看出 $(i,j)$ 只能由 $(i-1,j)$ 和 $(i,j-1)$ 转移而来，所以可以将集合分为两部分：

左边的集合如何计算？我们可以将其分为两步： $(1,1)\to (i-$