P3372 【模板】树状数组 3( 区间修改 + 区间查询 )

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思路
代码
//#pragma GCC optimize(3)//O3
//#pragma GCC optimize(2)//O2
#include<iostream>
#include<string>
#include<map>
#include<set>
//#include<unordered_map>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#include<fstream>
#define X first
#define Y second
#define best 131 
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define pii pair<int,int>
#define lowbit(x) x & -x
#define inf 0x3f3f3f3f
#define int long long
//#define double long double
//#define rep(i,x,y) for(register int i = x; i <= y;++i)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const double pai=acos(-1.0);
const int maxn=1e6+10;
const int mod=998244353;
const double eps=1e-9;
const int N=5e3+10;
/*--------------------------------------------*/
inline int read()
{
    int k = 0, f = 1 ;
    char c = getchar() ;
    while(!isdigit(c)){if(c == '-') f = -1 ;c = getchar() ;}
    while(isdigit(c)) k = (k << 1) + (k << 3) + c - 48 ,c = getchar() ;
    return k * f ;
}
/*--------------------------------------------*/

int n,q,a[maxn],c1[maxn],c2[maxn];
void add(int x,int val)
{
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
		c1[i]+=val,c2[i]+=val*(x-1);
}
int getsum(int x)
{
	int sum=0;
	for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
		sum+=x*c1[i]-c2[i];
	return sum;
}

signed main() 
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>q;
	a[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
		add(i,a[i]-a[i-1]);
	}
	while(q--)
	{
		int op,x,y,k;
		cin>>op>>x>>y;
		if(op==1)
			cin>>k,add(x,k),add(y+1,-k);
		else
			cout<<getsum(y)-getsum(x-1)<<endl;
	}
    return 0;
} 
### 树状数组区间修改实现 树状数组是一种高效的数据结构,通常用于处理单点修改区间查询问题。然而,在某些情况下,也需要支持 **区间修改** 和 **区间查询** 的操作。为了实现这一目标,可以通过引入差分数组的思想来完成。 以下是基于差分数组思想的树状数组区间修改查询的具体实现: #### 差分数组的概念 差分数组的核心思想是通过对原数组进行预处理,使得对某个区间的加法操作转化为两个单点的操作。对于一个长度为 \( n \) 的数组 \( a[] \),定义其对应的差分数组 \( b[] \) 如下: \[ b[i] = a[i] - a[i-1],\quad (i>0)\] 如果需要将区间 \([l, r]\) 上的所有元素加上 \( x \),则只需执行以下两步操作: 1. 将位置 \( l \) 处的值增加 \( x \): \( b[l] += x \)[^3] 2. 将位置 \( r+1 \) 处的值减少 \( x \): \( b[r+1] -= x \) 最终通过计算前缀和即可恢复原始数组的状态。 --- #### 区间修改查询的代码模板 下面是一个完整的 C++ 实现,展示了如何利用树状数组支持区间修改区间查询的功能。 ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; // lowbit 函数 inline int lowbit(int x) { return x & (-x); } // 树状数组类 class BIT { public: vector<int> tree; int size; // 初始化树状数组 BIT(int n) : size(n), tree(n + 2, 0) {} // 单点更新函数 void update(int idx, int delta) { while (idx <= size) { tree[idx] += delta; idx += lowbit(idx); } } // 前缀和查询函数 int query_prefix(int idx) const { int res = 0; while (idx > 0) { res += tree[idx]; idx -= lowbit(idx); } return res; } // 查询区间 [left, right] 的和 int query_range(int left, int right) const { return query_prefix(right) - query_prefix(left - 1); } }; // 主程序部分 void solve() { int n, q; cin >> n >> q; // 数组大小和询问数量 // 构造两个树状数组分别存储差分数组及其辅助信息 BIT bit_add(n); // 存储 add 操作的结果 BIT bit_subtract(n); // 辅助树状数组,用于修正偏移量 while (q--) { char type; cin >> type; if (type == &#39;U&#39;) { // 更新操作 U l r x 表示给 [l, r] 加上 x int l, r, x; cin >> l >> r >> x; bit_add.update(l, x); // 对应于差分数组中的 add(l, x) bit_add.update(r + 1, -x); // 对应于差分数组中的 add(r+1, -x) bit_subtract.update(l, x * (l - 1)); // 记录偏移量调整项 bit_subtract.update(r + 1, -x * r); // 记录偏移量调整项 } else if (type == &#39;Q&#39;) { // 查询操作 Q k 表示求第 k 位的数值 int k; cin >> k; long long result = bit_add.query_prefix(k) * k - bit_subtract.query_prefix(k); cout << result << "\n"; } } } ``` --- #### 关键点解析 1. **差分数组的作用** 使用差分数组可以将区间修改转换成两次单点修改,从而降低时间复杂度至 \( O(\log n) \)。 2. **双树状数组的设计** 由于直接维护差分数组无法快速获取任意一点的实际值,因此设计了第二个树状数组 `bit_subtract` 来记录偏移量调整项[^4]。 3. **时间复杂度分析** - 修改操作的时间复杂度为 \( O(\log n) \) - 查询操作的时间复杂度同样为 \( O(\log n) \) --- ###
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