常用逻辑等价式和逻辑蕴涵式（附证明）

逻辑等价式

交换律

$E1:P\vee Q\iff Q\vee P$
$E2:P\wedge Q\iff Q\wedge P$
$E3:P\leftrightarrow Q\iff Q\leftrightarrow P$

真值表

P	Q	$P\vee Q$	$Q\vee P$	$P\wedge Q$	$Q\wedge P$	$P\leftrightarrow Q$	$Q\leftrightarrow P$
T	T	T	T	T	T	T	T
T	F	T	T	F	F	F	F
F	T	T	T	F	F	F	F
F	F	F	F	F	F	T	T

结合律

$E4:(P\vee Q)\vee R\iff P\vee (Q\vee R)$
$E5:(P\wedge Q)\wedge R\iff P\wedge (Q\wedge R)$
$E6:(P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R\iff P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R)$

分配律

$E7:P\wedge (Q\vee R)\iff (P\wedge Q)\vee (P\wedge R)$
$E8:P\vee (Q\wedge R)\iff (P\vee Q)\wedge (P\vee R)$
$E9:P\to (Q\to R)\iff (P\to Q)\to (P\to R)$

真值表

p	q	r	$q\vee r$	$p\wedge q$	$p\wedge r$	$p\wedge (q\vee r)$	$(p\wedge q)\vee (p\wedge r)$
T	T	T	T	T	T	T	T
T	T	F	T	T	F	T	T
T	F	T	T	F	T	T	T
T	F	F	F	F	F
F	T	T
F	T	F
F	F	T
F	F	F

双重否定律

$E10:\neg \neg P\iff P$

真值表

p	$\neg p$	$\neg \neg p$
T	F	T
F	T	F

德.摩根律

$E11:\neg (P\wedge Q)\iff \neg P\vee \neg Q$
$E12:\neg (P\vee Q)\iff \neg P\wedge \neg Q$

真值表

一个简单的表格是这么创建的：

p	q	$\neg$p	$\neg$q	$\neg (p\vee q)$	$\neg (p\wedge q)$

逆反律

$E13:\neg (P\leftrightarrow Q)\iff P\vee Q$
$E14:P\to Q\iff \neg Q\to \neg P$
$E15:\neg P\leftrightarrow \neg Q\iff P\leftrightarrow Q$

幂等律

$E16:P\vee P\iff P$
$E17:P\wedge P\iff P$

真值表

p	$p\vee p$	$p\wedge p$
T	T	T
F	F	F

矛盾律和排中律

$E18:P\wedge \neg P\iff F$
$E19:P\vee \neg P\iff T$

同一律

$E20:P\wedge T\iff P$
$E23:P\vee F\iff P$
$E24:P\leftrightarrow T\iff P$
$E25:P\leftrightarrow F\iff \neg P$

零律

$E21:P\wedge F\iff F$
$E22:P\vee T\iff T$

等价等值式

$E26:P\leftrightarrow Q\iff (P\to Q)\wedge (Q\to P)\iff (P\wedge Q)\vee (\neg P\wedge \neg Q)$

蕴涵等值式

$E27:P\to Q\iff \neg P\vee Q$

输出律

$E28:(P\wedge Q)\to R\iff P\to (Q\to R)$

吸收律

$E29:P\wedge (P\vee Q)\iff P$
$E30:P\vee (P\wedge Q)\iff P$

假言易位

$P\to Q\iff \neg Q\to \neg P$

归谬论

$(P\to Q)\wedge (P\to \neg Q)\iff \neg P$

逻辑蕴涵式

化简式

$I1:P\wedge Q\Rightarrow P$
$I2:P\wedge Q\Rightarrow Q$

附加式

$I3:P\Rightarrow P\vee Q$
$I4:Q\Rightarrow P\vee Q$
$I5:\neg P\Rightarrow P\to Q$
$I6:Q\Rightarrow P\to Q$

$I7:\neg (P\to Q)\Rightarrow P$

$I8:\neg (P\to Q)\Rightarrow \neg Q$

析取三段论

$I9:\neg P\wedge (P\vee Q)\Rightarrow Q$

假言推论

$I10:P\wedge (P\to Q)\Rightarrow Q$

拒取式

$I11:(P\to Q)\wedge \neg Q\Rightarrow \neg P$

假言三段论

$I12:(P\to Q)\wedge (Q\to R)\Rightarrow P\to R$

二难推论

$I13:(P\vee R)\wedge (P\to R)\wedge (Q\to R)\Rightarrow R$

其他

$I14:P\to Q\Rightarrow R\vee P\to R\vee Q$
$I15:P\to Q\Rightarrow R\wedge P\to R\wedge Q$
$I16:P,Q\Rightarrow P\wedge Q$
$(P\to Q)\wedge (R\to S)\Rightarrow (P\wedge R)\to (Q\wedge S)$
$(P\leftrightarrow Q)\wedge (Q\leftrightarrow R)\Rightarrow P\leftrightarrow R$

逻辑等价式和逻辑蕴涵式的几个重要性质

命题公式关系的自反，对称，传递等性质：

• $p\iff q$ 当且仅当$\Rightarrow p\leftrightarrow q$
• $p\Rightarrow q$ 当且仅当 $\Rightarrow p\to q$
• 若$p\iff q$，则$q\iff p$
• 若$p\iff q$，$q\iff r$，则$q\iff r$
• 若$p\Rightarrow q$，则$\neg q\Rightarrow \neg p$
• 若$p\Rightarrow q$，$q\Rightarrow r$，则$p\Rightarrow r$
• 若$p\Rightarrow q$，$p\iff \acute{p}$，$q\iff \acute{q}$，则$\acute{p}\Rightarrow \acute{q}$