BZOJ3136: [Baltic2013]brunhilda

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本文介绍了一种利用素数筛选和线性推导解决特定数学问题的算法。该算法通过预处理所有可能的答案，实现了在O(1)时间内输出结果的目标。文章详细解释了如何构建ex数组来确定每一步操作的最佳策略，并提供了完整的C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

给定m个素数和Q个询问。每个询问有n个人，每次操作可以任意选择其中的一个素数p（素数可以重复使用），然后去掉剩余人数 mod p个人。对于每个询问，我们想知道，至少需要多少步操作才能去掉所有人。

输入

第一行：素数个数m和询问个数Q（1 <= m <= 100 000, 1 <= Q <= 100 000）第二行：m个素数pi （2 <= pi <= 10 000 000）下面Q行：n （1 <= n <= 10 000 000）

输出

Q行答案。如果无解，输出oo。

Solution

第一眼发现这是一道数学题
后来发现好像可以预处理所有答案,然后O(1)输出
其实就是这样
设 $f[i]$ 表示答案,也就是操作的最少步数
然后我们会感性地发现 $f[i]$ 是单调不下降的,而且 $0<=f[i]-f[i-1]<=1$
可以贪心一下
然后设一个 $ex[i]$ 数组表示第i位的数对后面 $ex[i]$ 个数都满足 $f[k]=f[i]+1,k<i+ex[i]$
如果知道ex数组,那么f就可以线性推了(不需要二分,因为线性递推的过程中可以保留上一步的答案)
关键是ex怎么求?
首先对于任意一个已经出现过的质数, $ex[p[i]]=p[i]$ ,因为p[i]是能扩展的最大长度了
然后对于其他的数,我们要找到已经出现过的质数使得i是p[k]的倍数
也就是说这个p[k]肯定在i的因子里,又因为是线性推的,所以只要随便找两个a*b=i的数,ex[i]就是 $max(ex[a],ex[b])$ ,而找这两个ab的方法就是线性筛一下
最后想说一说卡常的问题
我今天才发现!判断等于零要比==0慢很多

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 10000010
#define maxm 100010
#define max(a,b) a>b?a:b
int mp[maxn],p[maxm],q[maxm],ex[maxn],f[maxn];
bool vis[maxn];
inline int read(){
    int ret=0,ff=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){
        if(ch=='-') ff=-ff;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9'){
        ret=ret*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return ret*ff;
}
void sieve(int n){
   int cnt=0;mp[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(!vis[i]){
            f[++cnt]=i;
            mp[i]=i;
        }
        for(int j=1;j<=cnt;++j){
            int k=i*f[j];
            if(k>n) break;
            vis[k]=1;
            mp[k]=f[j];
            if(i%f[j]==0) break;
        }
    }
}
int main(){
    int n=read(),m=read(),j=0,mx=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&p[i]),mx=max(mx,p[i]),ex[p[i]]=p[i];
    ex[0]=mx,mx=0;
    //先把ex[0]求出来,就是最大的质数,任何小于那个质数的都可以一步之内完成操作
    for(int i=1;i<=m;++i) scanf("%d",&q[i]),mx=max(mx,q[i]);
    sieve(++mx);
    f[1]=0;
    for(int i=1;i<mx;++i){
        while(i>=ex[j]+j){
            ++j;
            if(i==j) break;
        }
        if(i==j){
            mx=i;
            break;
        }
        f[i]=f[j]+1;
        ex[i]=max(ex[mp[i]],ex[i/mp[i]]);
    }
    for(int i=1;i<=100;++i){
        printf("%d\n",f[i]);
    }
    return 0;
}