几何

计算共形几何讲座笔记 明白以下问题 1)几何研究的是什么?有哪些 2)为什么研究共形几何?有哪些好处 3)能解决哪些问题?工程中有什么应用?现在还有哪些问题需要解决   现代几何在工程和医学中的应用   几何是研究各种变换群下的不变量。工程上常用的几何是 1)拓扑:对应的变换群是拓扑同胚,比如把一个橡皮环,只要不拉破,他的拓扑是不变的 2)黎曼几何:等距变换;这里的距是指测地距离。把 阅读详情

1. 给定三角形 ABC ,用尺规作图找出 AB 上的一点 K 以及 BC 上的一点 M ,使得 AK = KM = MC 。
  


 


答案:先在 BC 上任取一个点 M' ,然后用圆规截取 AD = CM' 。过 D 作 AC 的平行线,以 M' 为圆心 M'C 为半径作圆,与这条平行线交于点 K' 。过 K' 作 AB 的平行线。容易看出,此时 A'K' = K'M' = M'C ,并且三角形 A'B'C 与整个大三角形 ABC 是相似的。如果以 C 为中心将 A'B'C 放大到 ABC ,就可以得到满足要求的 K 点和 M 点了。因此,我们延长 CK' ,并把它与 AB 的交点记为点 K ,这个点 K 就是要求的点。既然 AK 的长度知道了, M 点的位置也就确定了。
  

2. 解方程 2 · 3√2y - 1 = y3 + 1 。


 


答案:令 x = (y3 + 1) / 2 ,原式就变成了 y = (x3 + 1) / 2 。如果令函数 f(t) = (t3 + 1) / 2,你会发现 x 和 y 同时满足 f(x) = y 和 f(y) = x 。然而函数 f(t) 是严格单调递增的,因此 x 一定等于 y 。
于是,方程就变成了 y3 - 2y + 1 = 0 。等式左边可以变为 (y3 - y2) + (y2 - y) - (y - 1) ,进而分解为 (y - 1)(y2 + y - 1) 。于是得到方程的三个解: y = 1 和 y = (- 1 ± √5) / 2 。




3:已知三角形 ABC , ∠A 和 ∠C 的外角的角平分线恰好交于该三角形的外接圆上。给定 AB 和 BC 的长度,求三角形外接圆的半径。注意,这是一个“有点特别”的问题。

 
   
 


 


答案:这是一个错题,题目中的条件根本不可能达到。一个三角形的两条角平分线根本不可能交在外接圆上。原因很简单,注意到 ∠BAD = (180° - ∠A) / 2 + ∠A = 90° + ∠A / 2 > 90° ,类似地 ∠BCD = (180° - ∠C) / 2 + ∠C = 90° + ∠C / 2 > 90° ,因此 ∠BAD + ∠BCD > 180° 。然而,如果 A 、 B 、 C 、 D 真的四点共圆,那么 ∠BAD + ∠BCD 应该等于 180° 才对,于是产生矛盾。

代数几何与复几何的最新进展 1. 背景介绍 1.1 问题由来 代数几何和复几何是现代数学的重要分支,它们分别研究复数域和实数域上的几何问题,并广泛应用在物理学、计算机科学、密码学等多个领域。随着计算能力和数学理论的不断发展,代数几何和复几何领域近年来取得了诸多重要进展。本文将综述这些进展,并探讨其对其他领域可能带来的影响。 阅读详情

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B. Palm", title = "Prediction as a candidate for learning deep hierarchical models of data", year = "2012",}```Contact: rasmusbergpalm at gmail dot comDirectories included in the toolbox-----------------------------------`NN/` - A library for Feedforward Backpropagation Neural Networks`CNN/` - A library for Convolutional Neural Networks`DBN/` - A library for Deep Belief Networks`SAE/` - A library for Stacked Auto-Encoders`CAE/` - A library for Convolutional Auto-Encoders`util/` - Utility functions used by the libraries`data/` - Data used by the examples`tests/` - unit tests to verify toolbox is workingFor references on each library check REFS.mdSetup-----1. Download.2. addpath(genpath('DeepLearnToolbox'));Example: Deep Belief Network---------------------```matlabfunction test_example_DBNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit RBM and visualize its weightsrand('state',0)dbn.sizes = [100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);figure; visualize(dbn.rbm{1}.W'); % Visualize the RBM weights%% ex2 train a 100-100 hidden unit DBN and use its weights to initialize a NNrand('state',0)%train dbndbn.sizes = [100 100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);%unfold dbn to nnnn = dbnunfoldtonn(dbn, 10);nn.activation_function = 'sigm';%train nnopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.10, 'Too big error');```Example: Stacked Auto-Encoders---------------------```matlabfunction test_example_SAEload mnist_uint8;train_x = double(train_x)/255;test_x = double(test_x)/255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit SDAE and use it to initialize a FFNN% Setup and train a stacked denoising autoencoder (SDAE)rand('state',0)sae = saesetup([784 100]);sae.ae{1}.activation_function = 'sigm';sae.ae{1}.learningRate = 1;sae.ae{1}.inputZeroMaskedFraction = 0.5;opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;sae = saetrain(sae, train_x, opts);visualize(sae.ae{1}.W{1}(:,2:end)')% Use the SDAE to initialize a FFNNnn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm';nn.learningRate = 1;nn.W{1} = sae.ae{1}.W{1};% Train the FFNNopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.16, 'Too big error');```Example: Convolutional Neural Nets---------------------```matlabfunction test_example_CNNload mnist_uint8;train_x = double(reshape(train_x',28,28,60000))/255;test_x = double(reshape(test_x',28,28,10000))/255;train_y = double(train_y');test_y = double(test_y');%% ex1 Train a 6c-2s-12c-2s Convolutional neural network %will run 1 epoch in about 200 second and get around 11% error. %With 100 epochs you'll get around 1.2% errorrand('state',0)cnn.layers = { struct('type', 'i') %input layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 6, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %sub sampling layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 12, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %subsampling layer};cnn = cnnsetup(cnn, train_x, train_y);opts.alpha = 1;opts.batchsize = 50;opts.numepochs = 1;cnn = cnntrain(cnn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = cnntest(cnn, test_x, test_y);%plot mean squared errorfigure; plot(cnn.rL);assert(er<0.12, 'Too big error');```Example: Neural Networks---------------------```matlabfunction test_example_NNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);% normalize[train_x, mu, sigma] = zscore(train_x);test_x = normalize(test_x, mu, sigma);%% ex1 vanilla neural netrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samples[nn, L] = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.08, 'Too big error');%% ex2 neural net with L2 weight decayrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.weightPenaltyL2 = 1e-4; % L2 weight decayopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex3 neural net with dropoutrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.dropoutFraction = 0.5; % Dropout fraction opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex4 neural net with sigmoid activation functionrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm'; % Sigmoid activation functionnn.learningRate = 1; % Sigm require a lower learning rateopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex5 plotting functionalityrand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]);opts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through datann.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex6 neural net with sigmoid activation and plotting of validation and training error% split training data into training and validation datavx = train_x(1:10000,:);tx = train_x(10001:end,:);vy = train_y(1:10000,:);ty = train_y(10001:end,:);rand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]); nn.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, tx, ty, opts, vx, vy); % nntrain takes validation set as last two arguments (optionally)[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');```[![Bitdeli Badge](https://d2weczhvl823v0.cloudfront.net/rasmusbergpalm/deeplearntoolbox/trend.png)](https://bitdeli.com/free "Bitdeli Badge")

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