几何

1. 给定三角形 ABC ，用尺规作图找出 AB 上的一点 K 以及 BC 上的一点 M ，使得 AK = KM = MC 。
  

 

答案：先在 BC 上任取一个点 M' ，然后用圆规截取 AD = CM' 。过 D 作 AC 的平行线，以 M' 为圆心 M'C 为半径作圆，与这条平行线交于点 K' 。过 K' 作 AB 的平行线。容易看出，此时 A'K' = K'M' = M'C ，并且三角形 A'B'C 与整个大三角形 ABC 是相似的。如果以 C 为中心将 A'B'C 放大到 ABC ，就可以得到满足要求的 K 点和 M 点了。因此，我们延长 CK' ，并把它与 AB 的交点记为点 K ，这个点 K 就是要求的点。既然 AK 的长度知道了， M 点的位置也就确定了。
  

2. 解方程 2 · 3√2y - 1 = y3 + 1 。

 

答案：令 x = (y3 + 1) / 2 ，原式就变成了 y = (x3 + 1) / 2 。如果令函数 f(t) = (t3 + 1) / 2，你会发现 x 和 y 同时满足 f(x) = y 和 f(y) = x 。然而函数 f(t) 是严格单调递增的，因此 x 一定等于 y 。
于是，方程就变成了 y3 - 2y + 1 = 0 。等式左边可以变为 (y3 - y2) + (y2 - y) - (y - 1) ，进而分解为 (y - 1)(y2 + y - 1) 。于是得到方程的三个解： y = 1 和 y = (- 1 ± √5) / 2 。

3：已知三角形 ABC ， ∠A 和 ∠C 的外角的角平分线恰好交于该三角形的外接圆上。给定 AB 和 BC 的长度，求三角形外接圆的半径。注意，这是一个“有点特别”的问题。

 
   
 

 

答案：这是一个错题，题目中的条件根本不可能达到。一个三角形的两条角平分线根本不可能交在外接圆上。原因很简单，注意到 ∠BAD = (180° - ∠A) / 2 + ∠A = 90° + ∠A / 2 > 90° ，类似地 ∠BCD = (180° - ∠C) / 2 + ∠C = 90° + ∠C / 2 > 90° ，因此 ∠BAD + ∠BCD > 180° 。然而，如果 A 、 B 、 C 、 D 真的四点共圆，那么 ∠BAD + ∠BCD 应该等于 180° 才对，于是产生矛盾。