【51nod】AVL树的种类

最新推荐文章于 2021-05-19 19:59:57 发布

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本文探讨了给定节点数量时AVL树的不同形态计数问题，通过动态规划方法求解，介绍了dp[i][j]表示树大小为i，高度为j时的AVL树形态数量，最终输出形态总数对1000000007取模的结果。

平衡二叉树(AVL树），是指左右子树高度差至多为1的二叉树，并且该树的左右两个子树也均为AVL树。现在问题来了，给定AVL树的节点个数n，求有多少种形态的AVL树恰好有n个节点。
Input
一行，包含一个整数n。 (0 < n <= 2000)
Output
一行表示结果，由于结果巨大，输出它对1000000007取余数的结果。
Input示例
10
Output示例
60
简单dp：设 $dp[i][j]$ 为树大小为i，高度为j 的时候的答案
那么转移方程为

d p [i] [j] = \sum 0 < = k < = i - 1 d p [k] [j - 1] * d p [i - 1 - k] [j - 1] + d p [k] [j - 1] * d p [i - 1 - k] [j - 2] + d p [k] [j - 2] * d p [i - 1 - k] [j - 1]

$dp[i][j]=\sum_{0<=k<=i-1}dp[k][j-1]*dp[i-1-k][j-1]+\\ dp[k][j-1]*dp[i-1-k][j-2]+\\ dp[k][j-2]*dp[i-1-k][j-1]$
代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
ll dp[2005][20];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    dp[1][1]=1;
    dp[0][0]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        for(int j=2;j<20;j++)
        {
            ll temp=0;
            for(int k=0;k<=i-1;k++)
            {
                temp=(temp+dp[k][j-1]*dp[i-1-k][j-1]%mod);
                temp=(temp+dp[k][j-1]*dp[i-1-k][j-2]%mod);
                temp=(temp+dp[k][j-2]*dp[i-1-k][j-1]%mod);
            }
            dp[i][j]=temp%mod;
        }
    }
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<20;i++)
        ans=(ans+dp[n][i]);
    cout<<ans%mod<<endl;
    return 0;
}