AVL树种类

题干：

平衡二叉树(AVL树），是指左右子树高度差至多为1的二叉树，并且该树的左右两个子树也均为AVL树。 现在问题来了，给定AVL树的节点个数n，求有多少种形态的AVL树恰好有n个节点。
Input
一行，包含一个整数n。 (0 < n <= 2000)
Output
一行表示结果，由于结果巨大，输出它对1000000007取余数的结果。
Input示例
10
Output示例
60

分析：

把一棵AVL树根节点单拿出来，AVL树形态数量=左子树形态数量*右子树形态数量，而左右子树可能高度相同或高度差为1，设dp[i][j]表示共i层j个节点的AVL树形态数量(2<=j<=n，i<16)，状态转移方程为

dp[0][0] = dp[1][1]=1;

dp[i][j] = dp[i-1][j-k-1]*dp[i-1][k]+2*dp[i-2][j-k-1]*dp[i-1][k];

由于数字太大，这里需要对1e9+7取余

dp[i][j] += (dp[i-1][j-k-1]*dp[i-1][k])%(1e9+7);

dp[i][j] += (2*dp[i-2][j-k-1]*dp[i-1][k])%(1e9+7);

最终结果ans则为0~15层，共n个节点的AVL树形态总和

for(i = 0; i<16; ++i)

    ans = (ans+dp[i][j])%(1e9+7);

题解：

// 优快云上题解绝大部分是二维数组行号为节点数量，列号为层数，我这里是相反的

#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9+7;

const int MAXN = 2007;
ll dp[16][MAXN]; 
int main() {

    int n;
    cin>>n;
    dp[0][0]=1;
    dp[1][1]=1;
    for(int i=2;i<16;++i) {
        for(int j=2;j<=n;++j) {
            for(int k=0;k<j;++k) {
                dp[i][j]+=(dp[i-1][k]*dp[i-1][j-1-k])%mod;
                dp[i][j]+=(2*dp[i-1][k]*dp[i-2][j-1-k])%mod;
            }
        }
    }
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<16;i++)
        ans=(ans+dp[i][n])%mod;
    cout<<ans%mod<<endl;
    return 0;
}