[数位DP] 【UNR #2】梦中的题面

数位DP与组合计数

最新推荐文章于 2020-08-14 20:23:57 发布

原创最新推荐文章于 2020-08-14 20:23:57 发布 · 767 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

DP 同时被 2 个专栏收录

84 篇文章

订阅专栏

数位DP

7 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种使用数位动态规划(DP)解决特定计数问题的方法，特别是当输入参数c为1或0时的不同处理策略。针对c=1的情况，采用b进制下的数位DP；而c=0时，则增加额外维度来记录满足特定条件的个数。通过具体的代码实现展示了两种情况下的解决方案。

当 $c=1$ 的时候，很容易想到转成 $b$ 进制

每一位独立考虑，就可以数位DP了

当 $c=0$ 的时候，再加一维表示之前满足 $x_i=b^i$ 的个数就可以了

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <assert.h>

using namespace std;

const int N=55,P=998244353;

int m,b,c,n,a[1010],num[1010],f[N][N],g[N][N*N],fac[10010],inv[10010];
char s[1010];

inline void Pre(){
  fac[0]=1; for(int i=1;i<=10000;i++) fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%P;
  inv[1]=1; for(int i=2;i<=10000;i++) inv[i]=1LL*(P-P/i)*inv[P%i]%P;
  inv[0]=1; for(int i=1;i<=10000;i++) inv[i]=1LL*inv[i]*inv[i-1]%P;
  g[0][0]=1;
  for(int i=1;i<=m;i++){
    for(int j=0;j<=(b-1)*m;j++)
      for(int k=0;k<b && k<=j;k++)
    g[i][j]=(g[i][j]+g[i-1][j-k])%P;
  }
}

inline int C(int x,int y){
  return 1LL*fac[x]*inv[y]%P*inv[x-y]%P;
}

namespace Case1{
  void work(){
    int t=0;
    scanf("%s",s+1); n=strlen(s+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) num[i]=s[i]-'0';
    reverse(num+1,num+1+n);
    while(1){
      int rst=0;
      for(int i=n;i;i--){
    rst=rst*10+num[i];
    num[i]=rst/b;
    rst%=b;
      }
      a[++t]=rst;
      int flg=0;
      for(int i=1;i<=n;i++)
    if(num[i]){ flg=1; break; }
      if(!flg) break;
    }
    f[m+1][min(a[m+1],m)]=1;
    for(int i=m+1,p=1;i>1;i--,p++)
      for(int j=0;j<=m;j++){
    if(!f[i][j]) continue;
    for(int k=0;k<=(b-1)*p;k++){
      if(k>j*b+a[i-1]) break;
      int nxt=min(j*b+a[i-1]-k,m);
      f[i-1][nxt]=(f[i-1][nxt]+1LL*g[p][k]*f[i][j])%P;
    }
      }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++) ans=(ans+f[1][i])%P;
    printf("%d\n",ans);
  }
}

namespace Case2{
  int f[N][N][N];
  void work(){
    int t=0;
    scanf("%s",s+1); n=strlen(s+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) num[i]=s[i]-'0';
    reverse(num+1,num+1+n);
    while(1){
      int rst=0;
      for(int i=n;i;i--){
    rst=rst*10+num[i];
    num[i]=rst/b;
    rst%=b;
      }
      a[++t]=rst;
      int flg=0;
      for(int i=1;i<=n;i++)
    if(num[i]){ flg=1; break; }
      if(!flg) break;
    }
    f[m+1][min(a[m+1],m+1)][0]=1;
    for(int i=m+1,p=1;i>1;i--,p++)
      for(int j=0;j<=m+1;j++)
    for(int s=0;s<=m+2-i;s++){
      if(!f[i][j][s]) continue;
      for(int c=0;c<=1;c++)
        for(int k=0;k<=(b-1)*(p-s-c);k++){
          if(j*b+a[i-1]<k+c*b) break;
          int nxt=min(j*b+a[i-1]-k-c*b,m+1);
          f[i-1][nxt][s+c]=(f[i-1][nxt][s+c]+1LL*f[i][j][s]*g[p-s-c][k])%P;
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=m+1;i++)
      for(int j=0;j<=m;j++)
    ans=(ans+f[1][i][j])%P;
    printf("%d\n",ans);
  }
}

int main(){
  scanf("%d%d%d",&m,&b,&c);
  Pre();
  if(c&1) Case1::work();
  else Case2::work();
  return 0;
}