[DP][打表] Codeforces Round #424 .D Singer House-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Coldef/article/details/75231396

本文介绍了一种使用动态规划解决特定路径计数问题的方法。通过定义状态转移方程，文章详细阐述了如何计算从起点到终点的不同路径数量。特别地，文章关注于在一个由多个节点构成的树形结构中找出所有不相交路径的组合方式。

翻译下题解…

考虑DP
$f_{i,j}$ 表示从i-house中选出j条不相交的路径的方案数，那么答案就是 $f_{k,1}$
i-house可以从两个i-1-house中转移过来
枚举 $f_{i-1,j}$ 和 $f_{i-1,k}$
如果让根成为单独的一条路径，那么 $f_{i,j+k+1}+=f_{i-1,j}\times f_{i-1,k}$
如果不选根，那么 $f_{i,j+k}+=f_{i-1,j}\times f_{i-1,k}$
让根与左儿子中的一条路径结合或和右儿子中的一条路径结合，那么 $f_{i,j+k}+=f_{i-1,j}\times f_{i-1,k}\times2\times (j+k)$
从j+k条边中选出两条，让这两条边与根结合形成新的一条边，那么 $f_{i,j+k-1}+=f_{i-1,j}\times f_{i-1,k}\times C_{j+k}^2 \times 2$

然后因为答案是 $f_{k,1}$ 切每次转移第二位最多减一，所以j,k只要枚举到k就行了。这样复杂度是 $n^3$ 的。
然而常数巨大，就打表了……

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>

using namespace std;

const int N=410,P=1e9+7;

int n;
int f[N][2*N],C[N][N];

inline void add(int &x,int y){
    if((x+=y)>=P) x-=P;
}

int ans[]={\*略*\};

int main(){
    int n; scanf("%d",&n);
    return printf("%d\n",ans[n]),0;

    for(int i=0;i<=400;i++){
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++) C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%P;
    }
    for(int n=1;n<=400;n++){
        memset(f,0,sizeof(f));
        f[1][0]=f[1][1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<=n;j++)
                for(int k=0;k<=n;k++){
                    int x=1LL*f[i-1][j]*f[i-1][k]%P;
                    if(j+k+1<=n) add(f[i][j+k+1],x);
                    if(j+k<=n) add(f[i][j+k],x);
                    if(j+k<=n) add(f[i][j+k],((2LL*j*x%P)+(2LL*x*k%P))%P);
                    if(j+k-1>=0 && j+k-1<=n) add(f[i][j+k-1],2LL*x*C[j+k][2]%P);
                }
        }
        printf("%d,",f[n][1]);
    }
    return 0;
}