51nod 1323 完美平方

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#信息学 #高斯消元 #数论

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高斯消元

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本文介绍了一种解决异或方程组的方法——高斯消元法，并通过实例详细展示了如何设置未知数、建立方程以及计算自由元的过程。此外，还提到了一种优化手段bitset的应用。

题目链接.

异或方程组高斯消元例题。

每个元素选与不选设为未知数。

同一行同一列搞个方程。

至于是完全平方数就分解质因数，对每个质因子建一个方程。

答案是2的自由元个数次幂。

自由元个数=元的个数-有用方程的条数。

其实我到现在才知道高斯消元非三角矩阵的打法，感觉以前学了假的消元。

可以用bitset优化，很简单，这里不讲。

算法竞赛入门经典这本书里有一道类似的题，打法也是从那里copy的。

Code：

#include<set>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
#define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
using namespace std;

const int N = 21, mo = 1e9 + 7;
const int M = 1e5;

int T;
int p[M], bz[M];
int n, a[N][N], num[N][N];
int u[N][N][20], v[N][N][20];
int b[N * 100][N * N], tot;
set<int> s;
int ans = 1;

void Build() {
    fo(i, 2, M)  {
        if(!bz[i]) p[++ p[0]] = i;
        fo(j, 1, p[0]) {
            int k = i * p[j];
            if(k > M) break;
            bz[k] = 1;
            if(i % p[j] == 0) break;
        }
    }
}

void Clear() {
    fo(i, 1, tot) fo(j, 0, n * n) b[i][j] = 0;
    tot = 0;
}

void Built() {
    scanf("%d", &n);
    fo(i, 1, n) fo(j, 1, n) num[i][j] = (i - 1) * n + j;
    fo(i, 1, n) {
        b[++ tot][0] = 1;
        fo(j, 1, n) b[tot][num[i][j]] = 1;
    }
    fo(j, 1, n) {
        b[++ tot][0] = 1;
        fo(i, 1, n) b[tot][num[i][j]] = 1;
    }
    fo(i, 1, n) fo(j, 1, n) scanf("%d", &a[i][j]);
    fo(i, 1, n) {
        fo(j, 1, n) {
            int x = a[i][j]; u[i][j][0] = 0;
            for(int k = 1; k <= p[0] && p[k] * p[k] <= x; k ++)
                if(x % p[k] == 0) {
                    u[i][j][++ u[i][j][0]] = p[k];
                    v[i][j][u[i][j][0]] = 0;
                    while(x % p[k] == 0)
                        v[i][j][u[i][j][0]] ++, x /= p[k];
                }
            if(x > 1) u[i][j][++ u[i][j][0]] = x, v[i][j][u[i][j][0]] = 1;
            fo(k, 1, u[i][j][0]) s.insert(u[i][j][k]);
        }
    }
    while(!s.empty()) {
        int x = *s.begin(); s.erase(x);
        b[++ tot][0] = 0;
        fo(i, 1, n) {
            fo(j, 1, n) {
                fo(k, 1, u[i][j][0]) if(u[i][j][k] == x && v[i][j][k] % 2)
                    b[tot][num[i][j]] = 1;
            }
        }
    }
}

void W() {
    fo(i, 1, tot) {
        fo(j, 0, n * n) printf("%d ", b[i][j]);
        printf("\n");
    }
    printf("\n");
}

int Solve(int m, int n) {
    int i = 1, j = 1;
    while(i <= m && j <= n) {
        int r = i;
        fo(k, i, m) if(b[k][j]) r = k;
        if(b[r][j]) {
            fo(k, 0, n) swap(b[i][k], b[r][k]);
            fo(u, i + 1, m) if(b[u][j])
                fo(k, 0, n) b[u][k] ^= b[i][k];
            i ++;   
        }
        j ++;
    }
    return n - i + 1;
}


void pd() {
    fo(i, 1, tot) {
        int bz = 1;
        fo(j, 1, n * n) if(b[i][j]) {
            bz = 0; break;
        }
        if(bz && b[i][0]) {
            ans = 0; return;
        }
    }
}

int main() {
    Build();
    for(scanf("%d", &T); T; T --) {
        Clear();
        Built();
        int r = Solve(tot, n * n);
        ans = 1; fo(i, 1, r) ans = (ans * 2) % mo;
        pd(); printf("%d\n", ans);
    }
}