简单斯特林数学习小记

本文介绍了斯特林数的定义,包括第一类和第二类斯特林数,并详细讲解了它们的计算方法和性质。通过分治NTT算法可以实现快速计算第一类斯特林数,而第二类斯特林数的通项公式可以通过二项式反演求得。斯特林数在组合数学和递推法中有广泛应用。

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前言:

斯特林数这个东西,好像小学时就看过,当时水平很低,根本不会。
以前也遇到过一道第二类斯特林数的题,当时直接copy题解的,也不会运用。
最近遇到了自然数幂和,递推法很大的局限,只能学学第一类斯特林数。

定义:

斯特林数有第一类斯特林数和第二类斯特林数。
第一类斯特林数也分无符号和有符号,分别记为susussss
第二类斯特林数记为SS.

第一类斯特林数组合含义(因为是组合,所以是无符号的):
s m n 表示将n个不同元素组成m个圆的方案数,圆的次序不考虑,当然圆不能为空。

第二类斯特林数含义:
SnmSmn表示将n个不同元素放进m个集合里,与第一类斯特林数唯一的不同的在于它不考虑元素在集合里的次序,集合之间的次序也是不考虑的,集合不能为空。

在这里废话一下,和放球问题对比下。
放球问题指的是将n个无差异的球放进m个盒子里的方案数,盒子非空或不非空是可以控制的。

计算:

第一类斯特林数:

snm=sn1m1+(n1)sn1msmn=sm−1n−1+(n−1)∗smn−1

理解:
1.把第n个球单独放进新开的第m个圆中,为sn1m1sm−1n−1
2.把第n个球放到前面的n - 1个球的任意一个的左边,为(n1)sn1m(n−1)∗smn−1
加起来即可。

性质:
s00=1s00=1
sn0=0(n>0)s0n=0(n>0)
s

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