51nod 1643 小Q的家庭作业

Description：

定义 f(n) 表示 1 到 n 这 n 个数，同 n 的最大公约数的和。
例如 f(1)=1,f(2)=3,f(3)=5,f(6)=15 ，比如 n=6 时 1,2,3,4,5,6 同 6 的最大公约数分别为 1,2,3,2,1,6 ，它们的和是 15 。
小Q遇到了一个问题，Nod老师要求他回家计算 g(n)=∑d|nf(d) 这个函数模 1000000007 的值，例如 g(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)=24 。
小Q想了一下，如果有 n≤109 的条件，那么他是会做的，但是现在这个 n 非常的大，他觉得有点不太会算了，你能帮他计算一下 g(n) 模 1000000007 的值吗？
由于 n 非常大，所以 n 被表示成了 m 个正整数 x1,x2,⋯,xm 的乘积，即 n=∏mi=1xi 。
由于 m 也非常大，所以对于 $xi(1≤i<m)$ 有 xi+1=((a⋅xi+b)modc)+1 的关系。
上述的 m,x1,a,b,c 是给定的正整数。

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题解：

先随便反演一下。
$g(n) = \sum_{d|n}f(d)$
$=\sum_{d|n}\sum_{d'|d}d'*φ(d / d')$
$=\sum_{d'|n}d'*\sum_{d | {n\over d'}}d * φ({n \over {dd'}})$
$= \sum_{d'|n}d' * (n / d')$
$=\sum_{d'|n}n$
$=n *σ0(n)$

m虽然很大，但是c很小，所以可以找x的循环节。

现在需要快速将10000000个数分解质因数，可以线筛每个数的最小质因子和指数及对应的次幂，然后暴力统计，注意这题时限卡的很紧，一开始我这么做，然后T飞了。

于是去百度上膜了下标，发现只需要记录最小质因子，然后倒着扫一遍即可。

注意空间卡得也紧，所以需要重复利用数组。

Code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
#define fd(i, x, y) for(int i = x; i >= y; i --)
using namespace std;

const int N = 1e7, mo = 1e9 + 7;

int p[700000], u[N + 5], x[N + 5], bz[N + 5];
int a, b, c;
ll m, ans;

void Build() {
    fo(i, 2, N) {
        if(!bz[i]) p[++ p[0]] = i, u[i] = i;
        fo(j, 1, p[0]) {
            int k = i * p[j];
            if(k > N) break;
            bz[k] = 1; u[k] = p[j];
            if(i % p[j] == 0) break;
        }
    }
}

ll ksm(ll x, ll y) {
    ll s = 1;
    for(; y; y >>= 1, x = x * x % mo)
        if(y & 1)
            s = s * x % mo;
    return s;
}

void add(int &x, int y) {
    x += y, x = x >= mo ? x - mo : x;
}

int main() {
    scanf("%lld %d %d %d %d", &m, &x[1], &a, &b, &c);
    Build(); memset(bz, 0, sizeof(bz));
    int k = 1; bz[x[1]] = 1;
    while(1) {
        x[k + 1] = ((ll)x[k] * a + b) % c + 1; k ++;
        if(bz[x[k]]) break;
        bz[x[k]] = k;
    }
    int last = bz[x[k]] - 1; k --;
    int round = k - last;
    memset(bz, 0, sizeof(bz));
    ans = 1; int tem = (m - last) / round % mo;
    fo(i, last + 1, k) {
        ans = ans * x[i] % mo;
        add(bz[x[i]], tem);
    }
    ans = ksm(ans, (m - last) / round % (mo - 1));
    fo(i, 1, last)
        ans = ans * x[i] % mo, add(bz[x[i]], 1);
    tem = (m - last) % round;
    fo(i, last + 1, last + tem)
        ans = ans * x[i] % mo, add(bz[x[i]], 1);
    fd(i, N, 2)
        if(bz[i] && u[i] != i)
            add(bz[u[i]], bz[i]), add(bz[i / u[i]], bz[i]);
    fo(i, 1, p[0]) ans = ans * (bz[p[i]] + 1) % mo;
    printf("%lld", ans);
}