莫比乌斯反演&线性筛

（部分内容来源：PoPoQQQ）

有一个函数，。

这个F(n)是好求的对吧。但是f(n)....如果只用F()来表达的话似乎就不好表达了_(:з」∠)_

而且就看一眼真的很难看出规律好伐！

于是，拯(fei)救(chang)苍(e)生(xin)的莫(meng)比乌斯反演就被用来拯(e)救(xin)我们了.....

是这样的，如果有一个上面这样的函数，那么.......

Wait！这东西里面那个μ()是什么鬼？？

就是传说中的莫比乌斯函数，定义是这样的：

μ(d)=1(d=1)

        -1(d=p1p2....pn，pi为互异质数)

        0(其他情况)

莫比乌斯函数是积性函数（对任意x,y，gcd(x,y)=1，f(xy)=f(x)f(y)）。

有一种优化，好像可以把复杂度降到的样子。这里稍微给一下代码。

 

if(n>m) swap(n,m);  
for(i=1;i<=n;i=last+1)  
{  
    last=min(n/(n/i),m/(m/i));  
    re+=(n/i)*(m/i)*(sum[last]-sum[i-1]);  
}

 

 

 

话说咱bb了这么多（？）都还没讲这个μ()怎么求，难道一个一个枚举？？？？？

 

 

 

这绝对是要TLE的节奏好吗！

于是，就有了个用线性筛求这个μ()的代码。

说到筛法，可能比较广为人知的是埃xxxx（忘了）的用来判断质数的筛法，先给代码。

 

for(int i=2;i<=10000;i++)  
	if(!p[i])  
        for(int j=i;j*i<=10000;j++)  
            p[i*j]=1;

 

 

 

时间复杂度好像是O(n log log n)来着。（还算快

 

 

 

但是仍然有数会被筛几遍——比如12。（i=2时被筛一遍，i=3时又被筛一遍）

 

于是欧拉筛法就出炉了，每个合数只会被最小的质因数筛。

下为代码。

 

for(i=2;i<=50000;i++)  
{  
	if(!p[i]) pm[++ps]=i;  
	for(j=1;j<=ps&&i*pm[j]<=50000;j++)  
	{  
		p[i*pm[j]]=1;  
		if(i%pm[j]==0) break;  
	}  
}

 

 

 

再然后，前面有说过μ()是积性函数，于是稍作修改就可以求μ()了。

 

 

 

 

mob[1]=1;  
for(i=2;i<=50000;i++)  
{  
    if(!p[i]) {pm[++ps]=i;mob[i]=-1;}  
    for(j=1;j<=ps&&i*pm[j]<=50000;j++)  
    {  
        p[i*pm[j]]=1;  
        if(i%pm[j]==0) {mob[i*pm[j]]=0;break;}  
        else mob[i*pm[j]]=-mob[i];  
    }  
}

 

 

 

 

 

 

 

 

一些题目：

bzoj/hysbz 2440