卷积公式

卷积公式

卷积概念

卷积(Convolution)是通过两个函数f(t)和g(t)生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f(t)与g(t)经过翻转和平移的重叠部分的面积。

$f(t)$与$g(t)$的卷积公式为：

$$f(t)*g(t)=\int_0^t f(u)g(t-u)du \tag{1}$$
$f(t)$与 $g(t)$的拉普拉斯变换结果为：
$$\begin{cases} F(s)=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt \\ G(s)=\int_0^{\infty}e^{-st}g(t)dt \end{cases}\tag{2}$$
卷积公式与拉普拉斯变换结果的关系为：
$$F(s)G(s)=\int_0^{\infty}e^{-st}(f(t)*g(t))dt \tag{3}$$
公式(3)对卷积的傅里叶变换同样适用。

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卷积示例

示例1：f(t)与1的卷积

$$f(t)*1=\int_0^tf(u)du\tag{4}$$

示例2：$t^2$与$t$的卷积

$$\begin{align} t^2*t&=\int_0^tu^2(t-u)du\\ &=[\frac{1}{3}u^3t-\frac{1}{4}u^4]|_0^t\\ &=\frac{1}{12}t^4 \end{align}\tag{5}$$
此外，$t^2$与$t$的拉式变换为：
$$\begin{cases} F(s)=\mathscr{L}(t^2)=\frac{2!}{s^3}\\ G(s)=\mathscr{L}(t)=\frac{1!}{s^2} \end{cases}\tag{6}$$
所以：
$$\begin{cases}F(s)G(s)=\frac{2}{s^5}\\ \mathscr{L}^{-1}(F(s)G(s))=\frac{1}{12}t^4 \end{cases}\tag{7}$$
示例2验证了公式(3)的正确性。

[知乎：卷积的物理意义]