第二十一讲卷积公式

最新推荐文章于 2023-12-08 09:40:40 发布

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分类专栏：微分方程文章标签：麻省理工学院微分方程

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本文详细介绍了卷积公式的概念、求解过程及其在微分方程中的应用。通过举例和证明，阐述了卷积如何将两个函数的乘积转化为变换后的乘积再逆变换的结果。此外，还探讨了卷积的交换律，并将其应用于放射性物质衰变的数学模型建立中。

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一，卷积公式：

已知： $F(s)=\int_{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$ ， $G(s)=\int_{0}^{\infty }g(t)e^{-st}dt$
设： $F(s)G(s)=\int_{0}^{\infty }[f(t)\ast g(t)]e^{-st}dt$
求： $f(t)\ast g(t)=\mathcal {L}^{-1}[F(s)G(s)]$
因为拉氏变换是由幂级数变过来的，所以上面的问题可以转换为下面的问题方便计算：

已知： $F(s)=\sum_{0}^{\infty }a(n)x^{n}$ ， $G(s)=\sum_{0}^{\infty }b(n)x^{n}$
设： $F(s)G(s)=\sum_{0}^{\infty }[a(n)\ast b(n)]x^{n}$
求： $a(n)\ast b(n)$ ，（求解过程省略）

解得卷积公式： $f(t)\ast g(t)=\mathcal {L}^{-1}[F(s)G(s)]=\int_{0}^{t}f(u)g(t-u)du$
文字解读：两个函数的乘积，等于分别将它们变换后的乘积，再逆变换的结果，由于被变换卷在了一起，因此称为卷积。
满足交换律： $f(t)\ast g(t)=g(t)\ast f(t)$

二，例1：

求： $t^{2}\ast t$
代入卷积公式： $t^{2}\ast t=\int_{0}^{t}u^{2}(t-u)du$

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