Toyota Programming Contest 2024#4（AtCoder Beginner Contest 348）G. Max (Sum - Max) （决策单调性+主席树前k大）

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#决策单调性 #主席树

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可持久化数据结构(主席树/数组/并查集/字典树)

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文章讲述了如何解决AtCoder竞赛中的一道题目，涉及最大子序列和问题，利用决策单调性和主席树数据结构进行分治，通过动态规划计算每个位置的最优决策，以求解给定序列中在k个不同位置选择时的最大和。

题目

长为n(n<=2e5)的两个序列a和b，第i个数分别ai(-1e9<=ai<=1e9)，bi(-2e14<=bi<=2e14)

对于k从1到n，分别解决如下问题：

从[1,n]中选k个不同的位置，构成集合S，要求最大化 $\sum_{i\epsilon S} a_{i}-max_{i\epsilon S} b_{i}$ ，输出这个最大值

思路来源

uoj群qls

G题：https://qoj.ac/problem/7523

题解

主要是需要注意到决策单调性，注意到这个之后就比较好做了

考虑k=x的时候，已经在i处取到了[1,i]的最优决策，

那么当i变为i+1的时候，如果无脑选第i+1个位置，就构成了一种k=x+1的决策

当a[i+1]-a[rank[x](选的第x大的值)]-b[i+1]+b[i]>0的时候，能使k=x的决策更优

此时k=x的最优决策在i+1处取到，否则还是在第i处取到

反过来看，如果k=x+1的最优决策在j，

那么，k=x的最优决策要么在j（也就是通过满足上述加粗式，把之前最优决策里最小的a值扔掉）

要么在小于j的位置，也就是不满足加粗式，还是之前的决策方式

倘若k=x最优决策是在大于j的位置取到的，那么一定是将k=x在j处决策后的最优决策调的更优了，

把相同的调优手段应用给k=x+1，也能使k=x+1更优，与k=x+1的最优决策在j矛盾

综上，k=x决策点不大于k=x+1决策点

对于每个位置决策，主席树上维护一下当前的值有哪些，主要是需要查询topk大

分治一下，共查询O(nlogn)个位置的决策

代码

// Problem: G - Max (Sum - Max)
// Contest: AtCoder - Toyota Programming Contest 2024#4（AtCoder Beginner Contest 348）
// URL: https://atcoder.jp/contests/abc348/tasks/abc348_g
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
#define per(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
typedef long long ll;
typedef double db;
typedef pair<ll,int> P;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define dbg(x) cerr<<(#x)<<":"<<x<<" ";
#define dbg2(x) cerr<<(#x)<<":"<<x<<endl;
#define SZ(a) (int)(a.size())
#define sci(a) scanf("%d",&(a))
#define scll(a) scanf("%lld",&(a))
#define pt(a) printf("%d",a);
#define pte(a) printf("%d\n",a)
#define ptlle(a) printf("%lld\n",a)
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
const int N=2e5+10,M=200*N;
const ll INF=1e18;
P d[N];
int n,a[N],m,x[N],tot;
int root[N],ls[M],rs[M],c;
ll b[N],sum[M],cnt[M],ans[N];
void upd(int l,int r,int &cur,int las,int pos,int v){
	cur=++c;
    ls[cur]=ls[las];rs[cur]=rs[las];
    sum[cur]=sum[las]+v;
    cnt[cur]=cnt[las]+1;
	if(l==r){
        return;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	if(pos<=mid)upd(l,mid,ls[cur],ls[las],pos,v);
	else upd(mid+1,r,rs[cur],rs[las],pos,v);
}
ll ask(int cur,int l,int r,int k){
	//printf("l:%d r:%d k:%d cnt:%d\n",l,r,k,cnt[cur]);
	if(cnt[cur]<k)return -INF;
    if(!cur)return 0;
    if(l==r){
    	//printf("l:%d x:%d\n",l,x[l]);
    	return 1ll*k*x[l];
    }
    int mid=(l+r)/2,num=cnt[rs[cur]];
    ll res=0;
    if(num>=k)return ask(rs[cur],mid+1,r,k);
    return sum[rs[cur]]+ask(ls[cur],l,mid,k-num);
}
ll cal(int p,int k){
	ll w=ask(root[p],1,m,k)-d[p].fi;
	//printf("p:%d k:%d dp.fi:%lld w:%lld\n",p,k,d[p].fi,w);
	return w;
}
void dfs(int l,int r,int pl,int pr){
  	int mid=(l+r)/2,p=pl;
    ll res=cal(pl,mid);
    for(int j=pl+1;j<=pr;j++){
        ll tmp=cal(j,mid);
        if(tmp>res){
            res=tmp;
            p=j;
        }
    }
    ans[mid]=res;
    if(l<mid)dfs(l,mid-1,pl,p);
    if(mid<r)dfs(mid+1,r,p,pr);
}
int main(){
	sci(n);
	rep(i,1,n){
		scanf("%d%lld",&a[i],&b[i]);
		x[i]=a[i];
		d[i]=P(b[i],a[i]);
	}
	sort(x+1,x+n+1);
	m=unique(x+1,x+n+1)-(x+1);
	sort(d+1,d+n+1);
	rep(i,1,n){
		ll y=d[i].fi,z=d[i].se;
		int p=lower_bound(x+1,x+m+1,z)-x;	
		root[i]=root[i-1];
		//printf("i:%d p:%d z:%lld\n",i,p,z);
		upd(1,m,root[i],root[i],p,z);
	}
	dfs(1,n,1,n);
	rep(i,1,n){
		printf("%lld\n",ans[i]);
	}
	return 0;
}