AtCoder Beginner Contest 315 Ex. Typical Convolution Problem(分治NTT/全在线卷积)

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已于 2023-09-04 11:07:52 修改 · 306 阅读

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#分治NTT

于 2023-09-04 05:27:39 首次发布

博客围绕给定长为n的序列a求序列f的问题展开。采用分治NTT方法，考虑[l,mid]对[mid+1,r]的贡献，分析了贡献完整和只有一半贡献的情况并分类讨论。此外，还提及官方和群友给出的全在线卷积/半在线卷积解法，最后给出参考代码和乱搞代码。

题目

给定长为n(n<=2e5)的序列a，第i个数ai(0<=ai<998244353)

求序列f，满足式子如下：

$eq?f_%7Bk%7D%20%3D%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%201%2C%20k%3D0%20%5C%5C%20a_%7Bk%7D*%5Csum_%7Bi+j%3Cn%7Df_%7Bi%7D*f_%7Bj%7D%281%5Cleq%20k%20%5Cleq%20n%29%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

思路来源

jiangly代码/力扣群友tdzl2003/propane/自己的乱搞

题解

分治NTT，考虑[l,mid]对[mid+1,r]的贡献，

但是，手玩一下就会发现有个问题

举个例子，

1. [l,mid]=[0,1]，[mid+1,r]=[2,3]，那么右半边f2会加上f0*(f0+f1)+f1*f0，贡献完整

2. [l,mid]=[5,6]，[mid+1,r]=[7,8]，那么右半边f7会加上f5*(f0+f1)+f6*f0

相当于只有一半贡献，比如有f5*f0，没有f0*f5，

因为考虑f0所在区间对右的贡献时，f5还没算出来

对于第二种情况，贡献就需要乘以2

这两种情况会混在一起导致很难算么，答案是不会的

考虑第一次出现贡献完整，不需要*2的项时，

左边两个下标最小，右边下标最大，也就是l+l=r-1，满足2*l<r

由于分治NTT是分治的完整的2的幂次的区间，左右半段等长，

观察不难发现~~（jiangly代码告诉我们）~~只有l=0时，才会出现2*l<r

所以，分类讨论两种情况即可

Bonus

官方题解/群友给出了全在线卷积/半在线卷积的解法，更好理解，

一边卷积求第i项，一边维护卷积的前缀和

大概看了看是构造出了一个矩阵，

数字表示该数加入的时候算哪些矩阵，

每个矩阵对应一个边长规模的卷积

从而保证任何时刻均摊都是n(logn)^2，可以考虑以后整理个板子（咕）……

代码1（参考）

时间大概是代码2的一半

l=r处求f[l]的值，卷积的前缀和也是在此处算的

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned ll
const int N = 1<<20, P = 998244353;
const int Primitive_root = 3;
struct Z{
    int x;
    Z(const int _x=0):x(_x){}
    Z operator +(const Z &r)const{ return x+r.x<P?x+r.x:x+r.x-P;}
    Z operator -(const Z &r)const{ return x<r.x?x-r.x+P:x-r.x;}
    Z operator -()const{ return x?P-x:0;}
    Z operator *(const Z &r)const{ return static_cast<ull>(x)*r.x%P;}
    Z operator +=(const Z &r){ return x=x+r.x<P?x+r.x:x+r.x-P, *this;}
    Z operator -=(const Z &r){ return x=x<r.x?x-r.x+P:x-r.x, *this;}
    Z operator *=(const Z &r){ return x=static_cast<ull>(x)*r.x%P, *this;}
    friend Z Pow(Z, int);
    pair<Z,Z> Mul(pair<Z,Z> x, pair<Z,Z> y, Z f)const{
        return make_pair(
            x.first*y.first+x.second*y.second*f,
            x.second*y.first+x.first*y.second
        );
    }
};
Z Pow(Z x, int y=P-2){