AtCoder Beginner Contest 276 G.Count Sequences(计数/组合数学)

题目

给定n,m，求长为n(n<=1e7)且满足以下条件的序列a的个数，答案对998244353取模

①0<=a1<=a2<=...<=an<=m

②a_{i}%3与a_{i+1}%3不同，即相邻项模3的余数不同

思路来源

megurine烟花佬

第一层枚举的是 a1 % 3 的值，

第二层循环枚举的是一共 (a[i + 1] - a[i]) % 3 的值中2的个数，

一共 n - 1个差分数，然后再加上m的值可能不需要用完

也就是说余数，所以一共 n + 1个数，最后一个数是m - a[n]

题解

考虑构造差分序列b，b1=a1，b2=a2-a1，...

则最终b2到bn中不能有含0的项，只能为1或2，

枚举a1%3的值0,1,2，枚举后n-1项里有x项%3=2，则其他项%3=1

其余的相邻项之间的增量，只能用3的倍数来填，

相当于a0=0，a_{n+1}=m，中间n个数，共计n+2个数，

差分数组b共n+1项，每一项delta都是一个>=0的3的倍数

（b_{n+1}即最后一项可能不是，但只关心最后一项/3*3的值）

n+1个人平分总量(m-(n-1)-c2-a0)/3，每个人允许为0

插空法知x个人平分y每个人>=0的方案数为C(x+y-1,x-1)，代入即可

心得

n+1个数，可能不需要用完，

这个trick，感觉是典中典，之前好像也是在abc遇到过

代码

#include <bits/stdc++.h