AtCoder Beginner Contest 240 G.Teleporting Takahashi(组合数学 经典问题)

题目

在三维空间内，你当前处于(0,0,0)，需要走到(x,y,z)(-1e7<=x,y,z<=1e7)

每一步，你可以先选择三维中的某一维，然后令这一维+1或-1，其他两维保持不变，

换言之，每一步只能从当前整点移动到三维空间内相邻的整点，

求恰好n(n<=1e7)步走到(x,y,z)的方案数，答案对998244353取模

思路来源

dls的B站讲解

题解

首先，题目n=1e7，刻意卡了NTT，因为998244353=2^23*7*17，

即最大支持的NTT长度为2^23，再大下去变换会失真从而无法确定函数，

比如长度为2^24，则可能会出现两个位置分到同一个复根的情况，

当然，折半之后NTT再合并答案，可以强行卡过去

所以，考虑这题O(n)怎么做，

判完不合法之后，很容易想到枚举其中一维x，

从n步里选i步给x这维，求i步里走x的方案数，

剩下n-i步留给(y,z)这两维，求n-i步在一维走y另一维走z的方案数

在二维空间下，这是一个经典问题

考虑对二维空间(y,z)进行(-1,0)(0,-1)(1,0)(0,1)四种操作，

等价于对二维空间(y+z,y-z)进行(-1,-1)(-1,1)(1,1)(1,-1)四种操作，

原来的空间内只能对某一维+1或-1，

而在新的空间内两维的+1和-1互不影响，是独立的，

且两个空间是满射的，即一一映射，

新空间独立找出的方案，可以唯一映射回老空间内对应的方案

根据乘法原理，只需要分别求n-i步走y+z和y-z的方案数，相乘即可

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=9982