虚树（板子整理+知识总结）

思路来源

https://www.cnblogs.com/stoorz/p/12388534.html 板子

https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/9175152.html 构建过程、复杂度证明

知识点整理

以下部分来自https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/9175152.html

维护一个栈，建虚树的时候分三种情况，一边dfs一边建即可

一般考察虚树dp，复杂度是O(2*sumk)，因为加入一个点最多多一个lca

板子整理

把0号点当做一个默认出现的虚点，这样统一了很多情况

key[i]=1的点是虚树标记的点，par关系是新建的虚树

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=200010,LG=20;
int n,m;
vector<int>e[N]
int stk[N],top;//虚树栈 
int dep[N],f[N][LG+1];//lca
int par[N];//虚树 
bool key[N];//关键点 
int lca(int x,int y){
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
	for(int i=LG;i>=0;i--){
		if(dep[f[x][i]]>=dep[y]){
			x=f[x][i];
		}
	}
	if(x==y)return x;
	for(int i=LG;i>=0;i--){
		if(f[x][i]!=f[y][i]){
			x=f[x][i],y=f[y][i];
		}	
	}
	return f[x][0];
}
void dfs(int u,int fa){
	dep[u]=dep[fa]+1;
	f[u][0]=fa;
	for(int i=1;i<=LG;i++){
		f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
	}
	if(key[u]){
		int p=lca(u,stk[top]);
		if(p!=stk[top]){
			while(dep[stk[top-1]]>dep[p]){
				par[stk[top]]=stk[top-1];
				top--;
			}
			par[stk[top]]=p;
			top--;
			if(stk[top]!=p){
				stk[++top]=p;
			}
		}
		stk[++top]=u;
	}
	for(int v:e[u]){
		if(v==fa)continue;
		dfs(v,u);
	}
}
void build(){//以0为虚根 
	top=1;
	dfs(1,0);
	for(int i=top;i>=1;i--){
		par[stk[i]]=stk[i-1];	
	} 
} 
int main(){
	return 0;
}

支持多组询问的虚树（2024.2.11补充）

先dfs一遍，得到dfs序，

对于单组询问的询问点，先按dfn增序排序，

然后套用建一次虚树的方式，此时虚根仍然是0

以abc340g为例，也可参考洛谷p2495【消耗战】

KAJIMA CORPORATION CONTEST 2024（AtCoder Beginner Contest 340） G. Leaf Color（虚树+dp）-优快云博客

#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
using namespace std;
typedef array<int,2> a2;
typedef array<int,3> a3;
const int N=2e5+10,LG=20,mod=998244353;
int n,u,v,ans,a[N];
vector<int>col[N],e[N],g[N];
int dep[N],f[N][LG+1],dfn[N],c;
bool key[N];//关键点 
int lca(int x,int y){
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
	for(int i=LG;i>=0;i--){
		if(dep[f[x][i]]>=dep[y]){
			x=f[x][i];
		}
	}
	if(x==y)return x;
	for(int i=LG;i>=0;i--){
		if(f[x][i]!=f[y][i]){
			x=f[x][i],y=f[y][i];
		}	
	}
    //printf("x:%d y:%d lca:%d\n",x,y,f[x][0]);
	return f[x][0];
}
void dfs(int u,int fa){
	dep[u]=dep[fa]+1;
    dfn[u]=++c;
    //printf("u:%d dfn:%d\n",u,dfn[u]);
	f[u][0]=fa;
	for(int i=1;i<=LG;i++){
		f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
	}
	for(auto &v:e[u]){
		if(v==fa)continue;
		dfs(v,u);
	}
}
void add(int x,int y){
    //if(x==y)return;
    //printf("x:%d y:%d\n",x,y);
    g[x].push_back(y);
}
a2 dfs1(int u){
    //printf("u:%d\n",u);
    a2 dp={1,1};
    a3 h={1,0,0};
    for(auto &v:g[u]){
        auto dp2=dfs1(v);
        dp[0]=1ll*dp[0]*dp2[0]%mod;
        dp[1]=1ll*dp[1]*(dp2[1]+dp2[0])%mod;
        h[2]=(1ll*h[2]*(dp2[0]+dp2[1])%mod+1ll*h[1]*dp2[1]%mod)%mod;
        h[1]=(1ll*h[1]*dp2[0]%mod+1ll*h[0]*dp2[1]%mod)%mod;
        h[0]=1ll*h[0]*dp2[0]%mod;
    }
    if(key[u]){
        ans=(ans+dp[1])%mod;
    }
    else{
        ans=(ans+h[2])%mod;
        dp[1]=(dp[1]+mod-1)%mod;//非关键点的不能当叶子
    }
    key[u]=0;
    g[u].clear();
    return dp;
}
void build(vector<int>&a){//以0为虚根 
    static int stk[N],top;//虚树栈 
    sort(a.begin(),a.end(),[&](int x,int y){
        return dfn[x]<dfn[y];
    });
    int sz=a.size();
    stk[top=1]=a[0];
    key[a[0]]=1;// 标记为关键点
    for(int i=1;i<sz;++i){
        int u=a[i];
        key[u]=1;// 标记为关键点
		int p=lca(u,stk[top]);
		if(p!=stk[top]){
			while(dep[stk[top-1]]>dep[p]){
				add(stk[top-1],stk[top]);
				top--;
			}
			add(p,stk[top]);
			top--;
			if(stk[top]!=p){
				stk[++top]=p;
			}
		}
		stk[++top]=u;
	}
	for(int i=top;i>=2;i--){
		add(stk[i-1],stk[i]);
	}
    dfs1(stk[1]); 
} 
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&a[i]);
        col[a[i]].push_back(i);
    }
    for(int i=1;i<n;++i){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        e[u].push_back(v);
        e[v].push_back(u);
    }
    dfs(1,0);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        if(!col[i].size())continue;
        build(col[i]);
        //puts("");
    }
    printf("%d\n",ans);
	return 0;
}