牛客练习赛60 D.斩杀线计算大师(同余最短路)

同余最短路算法解析

最新推荐文章于 2024-09-17 01:11:51 发布

原创最新推荐文章于 2024-09-17 01:11:51 发布 · 372 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#同余最短路

最短路/差分约束专栏收录该内容

34 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种解决特定线性方程组问题的算法——同余最短路算法，通过构造同余状态和使用优先队列进行状态更新，找到满足给定条件的最小值组合，适用于求解形如ax+by+cz=k的整数解问题。

题目

给定a,b,c,k(1<=a,b,c<=1e5,0<=k<=1e12)，求一组(x,y,z)满足ax+by+cz=k

数据保证一定存在解。如果存在多组解，输出任意一组。

思路来源

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/view-submission?submissionId=43246478

题解

同余最短路，记mx=max(a,b,c)，

dis[i]表示凑齐与k%mx==i同余的数，所需要的最少值

用最少的值去凑够k%mx的状态dis[k%mx]，显然dis[0]=0,

只要dis[k%mx]足够小（小于k），剩下来的值就可以用若干个mx去凑，

更新dis[k%mx]的过程，是用a、b、c从同余0开始，按最短路的方法更新

因为要输出方案，所以记录了一个前驱nxt，表示是选的哪个数

因为一定有解，递归回去，就找到了各自的个数

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
ll h,a,b,c,mx,dis[N],num[N];
bool vis[N];
struct node{
    ll id,val;//优先队列里记录同余值id,达到该同余值的最小次数val
}nxt[N];//nex实际用于记录前驱同余值id 及当前填的是哪种数(1a 2b 3c)
bool operator<(node a,node b){
    return a.val>b.val;
}
priority_queue<node>q;
void dij(){
    for(int i=0;i<N;i++){
        dis[i]=1e18;
    }
    dis[0]=0;
    q.push((node){0,0});
    while(!q.empty()){
        int u=q.top().id;q.pop();
        if(vis[u])continue;
        vis[u]=1;
        if(dis[(u+a)%mx]>dis[u]+a){
            dis[(u+a)%mx]=dis[u]+a;
            nxt[(u+a)%mx]=(node){u,1};
            q.push((node){(u+a)%mx,dis[(u+a)%mx]});
        }
        if(dis[(u+b)%mx]>dis[u]+b){
            dis[(u+b)%mx]=dis[u]+b;
            nxt[(u+b)%mx]=(node){u,2};
            q.push((node){(u+b)%mx,dis[(u+b)%mx]});
        }
        if(dis[(u+c)%mx]>dis[u]+c){
            dis[(u+c)%mx]=dis[u]+c;
            nxt[(u+c)%mx]=(node){u,3};
            q.push((node){(u+c)%mx,dis[(u+c)%mx]});
        }
    }
}
void work(int h){
    if(h==0)return;
    num[nxt[h].val]++;
    h=nxt[h].id;
    work(h);
}
int main(){
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&h);
    mx=max(a,max(b,c));
    dij();
    work(h%mx);
    int x=a*num[1]+b*num[2]+c*num[3];
    x=h-x;
    if(mx==a)num[1]+=x/a;
    else if(mx==b)num[2]+=x/b;
    else if(mx==c)num[3]+=x/c;
    for(int i=1;i<=3;++i){
        printf("%lld ",num[i]);
    }
    return 0;
}